[論文レビュー] Gravitational energy-momentum in small regions according to Moller's tetrad expression

Lau Loi So, James M. Nester|ArXiv.org|Dec 11, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、リーマン正規座標とそれに伴う正規正標基底を用いて、小領域真空中におけるMøllerの四元標基に基づく重力的エネルギー運動量表現の評価を行う。第二階層で、表現がベル＝ロビンソンテンソルの正の定数倍を生じることを示し、小領域における正の重力的エネルギーという強い物理的要請を満たしていることを確認する。

ABSTRACT

Moller's tetrad gravitational energy-momentum "tensor" is evaluated for a small vacuum region using an orthonormal frame adapted to Riemann normal coordinates. We find that it does satisfy the highly desired property of being a positive multiple of the Bel-Robinson tensor.

研究の動機と目的

• Møllerの四元標に基づく重力的エネルギー運動量表現が、小領域真空中でベル＝ロビンソンテンソルの正の定数倍を生じるかどうかを評価すること。
• Møllerの表現が小領域極限において、等価原理との整合性および高次の曲率依存性をどのように示すかを調査すること。
• フレーム依存性を持つMøllerの表現が、優れたフレームが存在しない状況でも明確な結果を生じるかを、リーマン正規座標と自然な正規正標基を用いて検証すること。
• Møllerの表現が、古典的擬テンソルでは満たされない真空状態でベル＝ロビンソンテンソルを再現するという厳しいテストに合格するかをテストすること。
• 正値性と正しい曲率次数の振る舞いを確認することで、Møllerの表現が重力的エネルギー運動量局在化の候補として物理的に妥当であることを確立すること。

提案手法

• 微分形式形式によるアインシュタイン方程式から導かれたMøllerの四元標エネルギー運動量表現を採用する。
• 時空上の一点を中心とするリーマン正規座標を用い、計量および接続係数を空間座標に関して第二階層まで展開する。
• 関連する正規正標基（正規基底）を用いて、局所慣性系における余枠および接続1形式を表現する。
• 全エネルギー運動量カレント3形式 ${\cal P}_\mu$ を径方向座標 $x^l$ に関して第二階層まで展開し、真空中における重力的寄与を分離する。
• 曲率対称性の恒等式と真空中条件（リッチテンソルの消滅）を適用して第二階層の項を簡略化する。
• 空間3次元球面 $x^0 = 0$ において、恒等式 $\int x^l x^m d^3x = \frac{1}{3}\delta^{lm} \int r^2 d^3x$ を用いて積分を行い、ベル＝ロビンソンテンソルに比例する結果が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Møllerの四元標エネルギー運動量表現は、小領域真空中でベル＝ロビンソンテンソルの正の定数倍を生じるか？
• RQ2 Møllerの表現は小領域極限において、そのオーダーと曲率依存性に関してどのように振る舞うか？
• RQ3 Møllerの表現は、多くの古典的擬テンソルが満たさないベル＝ロビンソンテンソルを再現するという強い基準を満たすか？
• RQ4 フレーム依存性を持つにもかかわらず、Møllerの表現は小領域極限において明確かつ物理的に意味のある結果を生じるか？
• RQ5 得られたエネルギー運動量値は、物理的整合性が要求する正値性を示すか？

主な発見

• Møllerの四元標エネルギー運動量表現は、小領域真空中でベル＝ロビンソンテンソル $B^{\nu}{}_{\mu lm}$ に比例する第二階層の寄与を生じる。
• 全エネルギー運動量 $P_\mu$ は $P^\mu \simeq \frac{r^5}{240G}(E_{ab}E^{ab} + H_{ab}H^{ab}, -2\epsilon^{cab}E_{ad}H^{d}{}_{b})$ であることが判明し、$P^0 \geq |P^i| \geq 0$ であることから正値性が確認される。
• 結果は $P^\mu \simeq \frac{1}{240G} B^{0}{}_{\mu 00} r^5$ と明示的に表され、一次項でベル＝ロビンソンテンソルに比例していることが示される。
• 導出により、Møllerの表現が古典的擬テンソルでは満たされない、極めて望ましい真空中小領域性質を満たしていることが確認される。
• 表現は小領域極限において正のエネルギー密度を生じ、Møller形式の既知の正エネルギー証明と整合的である。
• リーマン正規座標と関連する正規基底の使用により、物理的に自然なフレーム選択がなされ、この文脈において結果が明確になる。