[論文レビュー] Gravitational thermodynamics without the conformal factor problem: Partition functions and Euclidean saddles from Lorentzian Path Integrals

Donald Marolf|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2022

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 71被引用数 35

ひとこと要約

本稿では、codimension-2の角尖り特異点を許容することにより、共形因子問題を解決する、重力の分配関数の実時間ループ積分形式を提案する。標準的なユークリッド空間のブラックホール解（正の比熱を有するもの）が半古典的極限において非ゼロの重みを持つ鞍点として寄与することを示し、恣意的な積分路の選択を回避して、根本的なローレンツ的枠組みから従来のユークリッド的結果を導出する。

ABSTRACT

Thermal partition functions for gravitational systems have traditionally been studied using Euclidean path integrals. But in Euclidean signature the gravitational action suffers from the conformal factor problem, which renders the action unbounded below. This makes it difficult to take the Euclidean formulation as fundamental. However, despite their familiar association with periodic imaginary time, thermal gravitational partition functions can also be described by real-time path integrals over contours defined by real Lorentzian metrics. The one caveat is that we should allow certain codimension-2 singularities analogous to the familiar Euclidean conical singularities. With this understanding, we show that the usual Euclidean-signature black holes (or their complex rotating analogues) define saddle points for the real-time path integrals that compute our partition functions. Furthermore, when the black holes have positive specific heat, we provide evidence that a codimension-2 subcontour of our real Lorentz-signature contour of integration can be deformed so as to show that these black holes saddles contribute with non-zero weight to the semiclassical limit, and that the same is then true of the remaining two integrals.

研究の動機と目的

• 重力的分配関数の第一原理的基礎を提供すること。特に、重力的作用が無限大に発散する問題を抱えるユークリッド的ループ積分に依存しないこと。
• 制御された特異点を伴うローレンツ的記述によって、ユークリッド的重力における共形因子問題を解決すること。
• 標準的なユークリッド的ブラックホール解（正の比熱を有するもの）が、実時間ループ積分枠組みにおいて物理的鞍点として出現することを示すこと。
• ローレンツ的計量とcodimension-2の角尖り特異点を用いて、重力的熱力学の一貫した半古典的記述を確立すること。
• ユークリッド的ループ積分の積分路の規定をローレンツ的力学から非摂動的に導出する基盤を築くこと—量子重力における基礎的ギャップを埋める。

提案手法

• 熱的分配関数 Z(β) を、実ローレンツ的記述のループ積分 ZL(T) に対するフーリエ型積分として定義し、fβ(T) をボルツマン因子のフーリエ変換とする。
• ユークリッド的作用の無限大発散を回避するため、実ローレンツ的記述の計量を基本的な積分路として用いる。
• ブラックホールに類似した鞍点の形成を可能にするために、codimension-2の角尖り特異点（ユークリッド的角尖り欠損に類似）を導入する。
• 複素化されたガウス・ボネの定理により、ローレンツ的作用に虚数的寄与を割り当て、ループ積分の重みが非ゼロとなるようにする。
• 一般次元における鞍点法を用い、固定面積の変動に注目して物理的鞍点を同定する。
• 元のローレンツ的積分路を変形し、ユークリッド的ブラックホール幾何をアクセス可能とし、半古典的極限においてそれらが非ゼロの重みで寄与することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱的重力的分配関数は、ユークリッド的ものに代えて、実ローレンツ的記述のループ積分によって一貫して定義可能か？
• RQ2 標準的なユークリッド的ブラックホール解が、ローレンツ的ループ積分枠組みにおいてどのように鞍点として出現するか？
• RQ3 codimension-2の角尖り特異点が、ブラックホールの鞍点からの非ゼロ寄与を可能にする役割は何か？
• RQ4 制御された特異点を伴うローレンツ的記述によって、共形因子問題を解決できるか？
• RQ5 根本的なローレンツ的ループ積分から、従来のユークリッド的ループ積分の積分路規定を導出可能か？

主な発見

• codimension-2の角尖り特異点を伴うローレンツ的ループ積分は、適切に定義された、振動的であるが分布として扱える被積分関数を与える。
• 角尖り特異点の導入により、作用に虚数的寄与が生じ、エントロピーの高い幾何に e^S の要因で寄与が増幅され、熱力学と整合的である。
• 正の比熱を有する標準的なユークリッド的ブラックホール解が、ローレンツ的ループ積分において有効な鞍点として示され、半古典的極限において非ゼロの重みで寄与することが確認された。
• 元のローレンツ的積分路のcodimension-2部分積分路を変形することで、これらのブラックホールの鞍点にアクセス可能であり、残りの積分に対しても同様の性質が成り立つ。
• 本手法により、恣意的な積分路の選択を回避して、従来のユークリッド的結果をローレンツ的出発点から第一原理的に導出可能である。
• 本フレームワークは、高次元補正が特異点付近でも摂動的に小さく保たれる可能性を示唆するが、完全なUV完備化にはさらなる研究が必要である。