[論文レビュー] Greedy Algorithms for Fair Division of Mixed Manna

Martin Aleksandrov, Toby Walsh|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

Game Theory and Voting Systems参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、正の、ゼロの、または負の効用を持つアイテム（ミックスド・マナ）の公平配分を、グリーディアルゴリズムを用いて公平性（EF1、EFX、EFX3）と効率性（PO）を達成するものとして研究する。最大のネ什・ウェルファーウェルトがミックスド・マナにおいてEF1を保証しないことを証明するが、同一または三段階の効用を持つ場合、EFXおよびPOの割り当てを多項式時間で得るアルゴリズムが存在し、ネ什・ウェルファーウェルト、ディユーティション・ネ什・ウェルファーウェルト、エゴイスタリアン・ウェルファーウェルトの近似保証も得られる。

ABSTRACT

We consider a multi-agent model for fair division of mixed manna (i.e. items for which agents can have positive, zero or negative utilities), in which agents have additive utilities for bundles of items. For this model, we give several general impossibility results and special possibility results for three common fairness concepts (i.e. EF1, EFX, EFX3) and one popular efficiency concept (i.e. PO). We also study how these interact with common welfare objectives such as the Nash, disutility Nash and egalitarian welfares. For example, we show that maximizing the Nash welfare with mixed manna (or minimizing the disutility Nash welfare) does not ensure an EF1 allocation whereas with goods and the Nash welfare it does. We also prove that an EFX3 allocation may not exist even with identical utilities. By comparison, with tertiary utilities, EFX and PO allocations, or EFX3 and PO allocations always exist. Also, with identical utilities, EFX and PO allocations always exist. For these cases, we give polynomial-time algorithms, returning such allocations and approximating further the Nash, disutility Nash and egalitarian welfares in special cases.

研究の動機と目的

• 加法的効用を持つミックスド・マナの公平配分における公平性概念（EF1、EFX、EFX3）と効率性（PO）の相互作用を調査すること。
• 一般的なウェルファーウェルト目的関数（ネ什、ディユーティション・ネ什、エゴイスタリアン・ウェルファーウェルト）が、ミックスド・マナ設定における公平性と効率性とどのように相互作用するかを分析すること。
• EFXおよびPOの割り当てが存在し、特に同一または三段階の効用を持つ場合に効率的に計算可能である条件を同定すること。
• 正確な最適化が不可能な場合に、EFXおよびPOの割り当てがウェルファーウェルト目的関数をどの程度近似できるかの保証を提供すること。
• EFX3という新しい公平性概念を導入し、ミックスド・グッドズ、純粋な悪（バッド）ズ、およびすべてのアイテムに対して別々にEFXを満たすように定義すること。

提案手法

• すべてのアイテム、ミックスド・グッドズのみ、および純粋な悪（バッド）ズのみに対してEFXを満たす、新しい公平性概念EFX3を定義する。
• 同一、三段階、一般の効用構造下でのEFX、EFX3、POの割り当ての存在可能性と計算複雑性を分析する。
• 同一または三段階の効用を持つ場合に、EFXおよびPOの割り当てを多項式時間で得るグリーディアルゴリズムを構築する。
• EFXおよびPOの割り当てにおけるネ什・ウェルファーウェルト、ディユーティション・ネ什・ウェルファーウェルト、エゴイスタリアン・ウェルファーウェルトの近似境界を確立する。
• 例および補題を用いて、近似比のタイトネスを示し、例えば、2人のエージェントとm+2個の悪（バッド）ズを持つ設定で、ディユーティション・ネ什・ウェルファーウェルトの近似比が√(8/9) ≈ 0.9428であることを示す。
• 既存の研究結果（例えば、PlautとRoughgardenのleximin、Caragiannisらのネ什・ウェルファーウェルト）を活用し、比較的近似保証を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミックスド・マナ設定において、ネ什・ウェルファーウェルトを最大化することはEF1を保証するか？
• RQ2 同一の効用を持つ場合でも、EFX3の割り当てが存在するか？もしあるならば、どのような条件下で存在するか？
• RQ3 同一または三段階の効用のような特定の効用構造下で、EFXおよびPOの割り当てを計算する多項式時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ4 EFXおよびPOの割り当ては、ネ什・ウェルファーウェルト、ディユーティション・ネ什・ウェルファーウェルト、エゴイスタリアン・ウェルファーウェルトの目的関数をどの程度近似するか？
• RQ5 同一の悪（バッド）ズを持つ設定において、EFX割り当ての最適なディユーティション・ネ什・ウェルファーウェルトに対する近似比はどの程度か？

主な発見

• ミックスド・マナにおいてネ什・ウェルファーウェルトを最大化しても、EF1は保証されない。これは、すべてのアイテムがグッドズであっても同様である。
• ディユーティション・ネ什・ウェルファーウェルトを最小化しても、EF1は保証されない。すべての悪（バッド）ズを1人のエージェントに割り当てる割り当ては、それを最小化するが、EF1を破る。
• 同一の効用を持つ場合でさえ、EFX3の割り当てが存在しないことがある。これは、この概念の根本的な制限を示している。
• 三段階の効用を持つ場合、EFXおよびPOの割り当て、およびEFX3およびPOの割り当てを計算する多項式時間アルゴリズムが存在する。
• 同一の効用を持つ場合、線形時間アルゴリズムによりEFXおよびPOの割り当てを計算でき、そのような割り当てはディユーティション・ネ什・ウェルファーウェルトを√(8/9) ≈ 0.9428の要因で近似する。
• EFX割り当てにおけるディユーティション・ネ什・ウェルファーウェルトの近似要因√(8/9)は、2人のエージェントとm+2個の悪（バッド）ズを持つ例6によって、ほぼタイトであることが示されている。