[論文レビュー] Green's relations on the deformed transformation semigroups

Galyna Tsyaputa|ArXiv.org|Aug 21, 2005

semigroups and automata theory参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、固定された元 a によって乗法が変形された有限逆対称半群 (ISₙ, *ₐ) および有限対称半群 (Tₙ, *ₐ) におけるグリーンの関係（L, R, H, D）を特徴づける。この研究では、(ISₙ, *ₐ) が自己双対であることを示し、a に関する定義域および値域の包含関係に基づく L-および R-類の明示的条件を導出する。さらに、rank(a) = p > 1 の場合、クラスの基数についてスターリング数および二項係数を用いた正確な式を得る。

ABSTRACT

Green's relations on the deformed finite inverse symmetric semigroup $\mathcal{IS}_n$ and the deformed finite symmetric semigroup $\mathcal{T}_n$ are described.

研究の動機と目的

• 変形された有限逆対称半群 (ISₙ, *ₐ) および変形された有限対称半群 (Tₙ, *ₐ) におけるグリーンの関係（L, R, H, D）を特徴づけること。
• 変形要素 a に関する定義域および値域の包含関係に基づいて、(ISₙ, *ₐ) の L-および R-類の構造を特定すること。
• rank(a) = p > 1 の場合に、(Tₙ, *ₐ) における多要素 L-および R-類の数およびサイズの明示的公式を導出すること。
• (ISₙ, *ₐ) が変形乗法 *ₐ に関して自己双対であることを証明すること。
• ランクの不変性を用いて、変形半群 (ISₙ, *ₐ) の同型型を分類し、既存の分類結果を拡張すること。

提案手法

• 乗法 x *ₐ y = x a y を用いて、ISₙ および Tₙ 上に新しい半群演算を定義する。
• 標準的なグリーンの関係論理を適用：片側および両側イデアルを介して、L（左）、R（右）、H（ヒル）、D（二重）、J（宝物）関係を定義する。
• 定義域（dom）および値域（ran）の包含関係を用いる：x ∈ Rₐ であるための必要十分条件は、dom(x) = dom(a) かつ ran(x) ⊆ dom(a) であること。同様に、x ∈ Lₐ であるための必要十分条件は、ran(x) = ran(a) かつ dom(x) ⊆ ran(a) であること。
• 自己双対性を活用し、写像 x ↦ x⁻¹ を用いて (ISₙ, *ₐ) がその双対半群と同型であることを示す。
• 組合せ論的道具を用いる：第一種および第二種スターリング数 S(n,m)、二項係数、階乗項を用いてクラスのサイズを数える。
• 包含除法原理を適用し、全半群サイズ nⁿ から多要素クラスの数を差し引くことで、1要素 L-および R-クラスの数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変形された逆対称半群 (ISₙ, *ₐ) において、2つの元が同じ L-類に属するための条件は何か？
• RQ2 (ISₙ, *ₐ) の R-類は、変形要素 a の定義域および値域にどのように依存するか？
• RQ3 rank(a) = p > 1 の場合、(Tₙ, *ₐ) における多要素 L-クラスの基数は何か？
• RQ4 (ISₙ, *ₐ) の自己双対性は、そのグリーンの関係の構造とどのように関係するか？
• RQ5 a のランクおよび逆像のサイズを用いて、(Tₙ, *ₐ) における1要素および多要素 L-および R-クラスの正確な個数は何か？

主な発見

• 半群 (ISₙ, *ₐ) は自己双対であり、写像 x ↦ x⁻¹ による双対半群と同型である。
• 要素 x が (ISₙ, *ₐ) の多要素 R-類に属するための必要十分条件は、ran(x) ⊆ dom(a) であり、その R-類は、dom(y) = dom(x) かつ ran(y) ⊆ dom(a) を満たすすべての y の集合である。
• (Tₙ, *ₐ) において、多要素 L-クラスの数は ∑ₘ₌₁ᵖ (ⁿₘ) に等しく、各クラスのサイズは rank(a) = p のとき S(p,m) ∑ⱼ₌₁ᵐ S(n−p,j) (ᵐⱼ) j! に等しい。
• (Tₙ, *ₐ) における1要素 L-クラスの数は nⁿ − ∑ₘ₌₁ᵖ (ⁿₘ) S(p,m) ∑ⱼ₌₁ᵐ S(n−p,j) (ᵐⱼ) j! に等しい。
• (Tₙ, *ₐ) における多要素 R-クラスの数は ∑ₘ₌₁ᵖ S(n,m) に等しく、各クラスのサイズは ∑₁≤i₁<⋯<iₘ≤p n(aᵢ₁)⋯n(aᵢₘ) m! に等しい。
• (Tₙ, *ₐ) における1要素 R-クラスの数は nⁿ − ∑ₘ₌₁ᵖ S(n,m) ∑₁≤i₁<⋯<iₘ≤p n(aᵢ₁)⋯n(aᵢₘ) m! に等しい。