[論文レビュー] Grid Recognition: Classical and Parameterized Computational Perspectives

Siddharth Gupta, Guy Sa'ar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Advanced Graph Theory Research被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、グリッド認識の初めてのパrameterized 複雑性解析を提示し、Grid Embedding問題が $k + \text{mcc}$（$k$ は高さ、$\text{mcc}$ は最大成分サイズ）をパrameterにとった場合、および $\text{td} + k$（木深さ + 高さ）をパrameterにとった場合に、固定パラメータ可 tractable（FPT）であることを証明している。また、グラフ距離と幾何的距離の関係を表す新たなパラメータ $a_G$ を導入し、木や $k + a_G$ においてFPT結果を得た。一方、$k = 3$ の場合に、幅が2のパス幅を持つグラフにおいてNP困難であることを示した。これらの結果は、ストリップパッキング問題に対して、ストリップの高さと長方形の寸法をパrameterにとった新たなFPTアルゴリズムを示唆している。

ABSTRACT

Grid graphs, and, more generally, k×r grid graphs, form one of the most basic classes of geometric graphs. Over the past few decades, a large body of works studied the (in)tractability of various computational problems on grid graphs, which often yield substantially faster algorithms than general graphs. Unfortunately, the recognition of a grid graph (given a graph G, decide whether it can be embedded into a grid graph) is particularly hard - it was shown to be NP-hard even on trees of pathwidth 3 already in 1987. Yet, in this paper, we provide several positive results in this regard in the framework of parameterized complexity (additionally, we present new and complementary hardness results). Specifically, our contribution is threefold. First, we show that the problem is fixed-parameter tractable (FPT) parameterized by k+mcc where mcc is the maximum size of a connected component of G. This also implies that the problem is FPT parameterized by td+k where td is the treedepth of G, as td ≤ mcc (to be compared with the hardness for pathwidth 2 where k = 3). (We note that when k and r are unrestricted, the problem is trivially FPT parameterized by td.) Further, we derive as a corollary that strip packing is FPT with respect to the height of the strip plus the maximum of the dimensions of the packed rectangles, which was previously only known to be in XP. Second, we present a new parameterization, denoted a_G, relating graph distance to geometric distance, which may be of independent interest. We show that the problem is para-NP-hard parameterized by a_G, but FPT parameterized by a_G on trees, as well as FPT parameterized by k+a_G. Third, we show that the recognition of k× r grid graphs is NP-hard on graphs of pathwidth 2 where k = 3. Moreover, when k and r are unrestricted, we show that the problem is NP-hard on trees of pathwidth 2, but trivially solvable in polynomial time on graphs of pathwidth 1.

研究の動機と目的

• パrameterized 複雑性枠組みにおける長年の未解決問題であるグリッドグラフ認識を扱う。
• NP困難なGrid Embedding問題の tractable なパラメータ化を同定する。
• グリッド認識の結果を活用して、ストリップパッキングの新たなFPTアルゴリズムを確立する。
• グラフ距離と幾何的距離の乖離を捉える新たなパラメータ $a_G$ を導入し、その分析を行う。
• 特に $k = 3$ およびパス幅2の状況において、グリッド認識の複雑性を解明する。

提案手法

• Tree decomposition 上での動的計画法と成分ごとの埋め込み戦略を用いて、$k + \text{mcc}$ をパラメータにとったGrid EmbeddingがFPTであることを証明する。
• 木深さの構造を活用し、部分木の再帰的埋め込みを用いて、$\text{td} + k$ をパラメータにとった問題がFPTであることを示す。
• パラメータ $a_G$ を定義する。$a_G$ は、ある潜在的なグリッド埋め込みにおいて幾何的に隣接する頂点の間の最大グラフ距離である。
• パスおよび木における帰納的埋め込みの議論を用いて、$a_G$ における木のFPT結果および $k + a_G$ におけるFPT結果を証明する。
• 変数および節のパスを含む構造化されたガジェット構築を用いて、3-SATから帰着を構築し、$k = 3$ の場合にパス幅2のグラフにおけるGrid EmbeddingがNP困難であることを証明する。
• ストリップパッキングがストリップの高さと最大長方形寸法の和をパラメータにとった場合にFPTであるという系を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然な構造的パラメータ、たとえば $k + \text{mcc}$ や $\text{td} + k$ をパラメータにとった場合に、Grid Embedding問題は固定パラメータ可 tractable（FPT）であるか？
• RQ2 グラフ距離と幾何的距離の不一致を測る新たなパラメータ $a_G$ が、グリッド認識のFPTアルゴリズムをもたらすか？
• RQ3 特に $k = 3$ の場合に、有界パス幅を持つグラフにおけるグリッド認識の複雑性はいかほどか？
• RQ4 新たなパラメータ $a_G$ が、木や $k + a_G$ においても tractable なアルゴリズムをもたらすか？
• RQ5 グリッド認識の結果を活用して、ストリップパッキングなどの関連問題のパラメータ化アルゴリズムを改善できるか？

主な発見

• Grid Embedding問題は、$k + \text{mcc}$ をパラメータにとった場合にFPTである。ここで $\text{mcc}$ は入力グラフにおける連結成分の最大サイズである。
• Grid Embedding問題は、$\text{td} + k$ をパラメータにとった場合にFPTである。ここで $\text{td}$ はグラフの木深さである。これはパス幅2の文脈において長年の未解決問題を解消した。
• パラメータ $a_G$ を用いた場合、問題はパラメータ化されたNP困難（para-NP-hard）であるが、木に制限をおくか、$k + a_G$ をパラメータにとった場合にはFPTとなる。これは複雑性の鋭い境界を示している。
• $k = 3$ の場合に、パス幅2のグラフにおけるGrid Embedding問題はNP困難である。これは、非常に制限されたグラフクラスに対しても問題が依然として困難であることを示している。
• ストリップパッキング問題は、ストリップの高さと最大長方形寸法の和をパラメータにとった場合にFPTである。これは、以前のXPアルゴリズムに比べて顕著な改善である。
• 本研究の結果は、新しいパラメータ化枠組みの下でストリップパッキングをグリッド認識問題に還元することにより、新たなFPTアルゴリズムを確立した。