[論文レビュー] Reconfiguration of Colorable Sets in Classes of Perfect Graphs

Takehiro Ito, Yota Otachi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 16被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、完全グラフにおけるc-彩色可能集合の再構成を調査し、cが固定されている場合、区間グラフでは線形時間で解けること、スプリットグラフでは多項式時間で解けることを確立している。一方、cが固定されていても、co-比較可能性グラフおよび弦的グラフではPSPACE完全のままである。主な貢献は、区間グラフにおける最短再構成シーケンスの組合せ的特徴付けであり、TARおよびTJルールにおける効率的アルゴリズムの実現を可能にするとともに、グラフクラス間での複雑さの鋭い境界を明らかにした。

ABSTRACT

A set of vertices in a graph is c-colorable if the subgraph induced by the set has a proper c-coloring. In this paper, we study the problem of finding a step-by-step transformation (reconfiguration) between two c-colorable sets in the same graph. This problem generalizes the well-studied Independent Set Reconfiguration problem. As the first step toward a systematic understanding of the complexity of this general problem, we study the problem on classes of perfect graphs. We first focus on interval graphs and give a combinatorial characterization of the distance between two c-colorable sets. This gives a linear-time algorithm for finding an actual shortest reconfiguration sequence for interval graphs. Since interval graphs are exactly the graphs that are simultaneously chordal and co-comparability, we then complement the positive result by showing that even deciding reachability is PSPACE-complete for chordal graphs and for co-comparability graphs. The hardness for chordal graphs holds even for split graphs. We also consider the case where c is a fixed constant and show that in such a case the reachability problem is polynomial-time solvable for split graphs but still PSPACE-complete for co-comparability graphs. The complexity of this case for chordal graphs remains unsettled. As by-products, our positive results give the first polynomial-time solvable cases (split graphs and interval graphs) for Feedback Vertex Set Reconfiguration.

研究の動機と目的

• 完全グラフのクラスにおけるc-彩色可能集合の再構成の計算複雑性を理解すること。独立集合の再構成を一般化する。
• 区間グラフにおけるc-彩色可能集合の再構成シーケンスの構造を特徴付けることにより、効率的な計算を可能にする。
• さまざまなグラフクラスにおいて、特にcが固定されている場合と変動する場合に、問題の tractable と intractable な境界を特定すること。
• 区間グラフおよびスプリットグラフにおける肯定的結果を応用し、Feedback Vertex Set Reconfiguration の最初の多項式時間解可能ケースを確立すること。
• cが固定定数である場合の弦的グラフにおける問題の複雑さ状態を明確にすること。これは未解決の問題のままである。

提案手法

• 頂点レベルの構造的解析とクリーク分解を用いて、区間グラフにおける2つのc-彩色可能集合間の距離を組合せ的特徴付ける。
• 一般グラフにおける最短s–tパス再構成を、co-比較可能性グラフにおけるc-彩色可能集合再構成に還元し、TAR、TJ、TSルール下でも解構造を保持する。
• 一般グラフにおけるパス再構成から還元することで、co-比較可能性グラフにおける問題がPSPACE完全であることを証明する。この構成では、パスをクリークと補助頂点に埋め込む。
• cが固定されているスプリットグラフにおいて、クリークと独立集合の構造を活用し、可能な状態の数を有界化することで、問題が多項式時間で解けることを示す。
• 区間グラフが弦的グラフとco-比較可能性グラフの共通部分であることに着目し、肯定的結果がさらに拡張できないことを主張する。
• 得られた結果をFeedback Vertex Set Reconfigurationに適用し、TARおよびTJルール下で、区間グラフおよびスプリットグラフにおいて多項式時間で解けることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TARおよびTJルール下で、区間グラフにおけるc-彩色可能集合の再構成の計算複雑性は何か？
• RQ2 cが固定されている場合と入力の一部である場合とで、特にスプリットグラフおよび弦的グラフにおいて、問題の複雑性はどのように変化するか？
• RQ3 cが固定されていても、co-比較可能性グラフおよび弦的グラフでは問題がPSPACE完全であるか？
• RQ4 区間グラフにおけるc-彩色可能集合の最短再構成シーケンス問題の複雑さは何か？
• RQ5 区間グラフおよびスプリットグラフにおける肯定的結果は、特にc ≥ 2の場合にTSルールへ拡張可能か？

主な発見

• TARおよびTJルール下で、区間グラフにおけるc-彩色可能集合の再構成問題は線形時間で解ける。最短再構成シーケンスの組合せ的特徴付けが得られている。
• cが固定定数であるスプリットグラフでは、問題は多項式時間で解けるが、cが入力に含まれる場合にはPSPACE完全になる。
• cが固定されていても、co-比較可能性グラフではTAR、TJ、TSのすべてのルール下で問題がPSPACE完全である。
• 弦的グラフではTARおよびTJルール下でも問題がPSPACE完全のままであり、スプリットグラフの場合にも同様である。c = 2の場合の弦的グラフにおける問題の複雑さは未解決のままである。
• c ≥ 2が固定されている場合、完全グラフにおいて問題はNP完全である。これにより、元の探索問題の複雑さの地図が完成する。
• Feedback Vertex Set Reconfiguration は、TARおよびTJルール下で、区間グラフおよびスプリットグラフにおいて多項式時間で解ける。これは、これらのグラフクラスにおける最初の多項式時間解可能結果である。