[論文レビュー] Gromov-Hausdorff limits of Kahler manifolds and algebraic geometry, II

Simon Donaldson, Song Sun|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 37被引用数 50

ひとこと要約

この論文は、一様な幾何的境界を持つ極化されたケーラー多様体のグロモフ＝ハウスドルフ極限が自然に複素解析的空間であることを確立し、特異点における接錐が代数的多様体であることを示している。滑らかさの仮定を課さずに、複素解析的手法を用いて接錐の一意性を示し、ケーラー＝エインシュタイン計量および代数幾何における特異点に関する結果を非コンパクトな状況にまで拡張している。

ABSTRACT

In this paper we continue to study Gromov-Hausdorff limits of Kahler manifolds and algebraic geometry. Our main focus is on the algebro-geometric meaning of Riemannian tangent cones and rescaled limits.

研究の動機と目的

• 一様に有界な幾何的クラスに属するケーラー多様体のグロモフ＝ハウスドルフ極限が複素解析的空間であることを確立すること。
• このような極限上での多項式成長を示す正則関数の環が有限生成であることを証明すること。
• 有限生成性を用いて、特異点における接錐がアフィン代数的多様体と同型であることを示すこと。
• 滑らかでない断面を仮定しない複素幾何的手法を用いて、点における接錐の一意性を確立すること。
• 極限空間の代数的構造を、非コンパクトな状況、特に無限遠における接錐を含めた状況へと拡張すること。

提案手法

• チエーバー＝コールディング＝ティアンの正則性理論を用いて、グロモフ＝ハウスドルフ極限を、ケーラー＝エインシュタイン計量を持つ正則部分集合と、余次元4以上の特異集合に分解する。
• 正則部分集合からの正則関数の押し出しを用いて、極限空間上に構造層を定義する。
• 体積比較とエインシュタイン条件を適用し、一様な直径の上限と崩壊しない性質を導出し、極限空間のコンパクト性を保証する。
• スケーリング極限（接錐）を、距離的コーン $ C(Y) $ として分析し、多項式成長を示す正則関数の環 $ R(C(Y)) $ が有限生成であることを証明する。
• 複素解析的状況におけるロジャシエフスキー＝シモン型の議論を用いて、断面の滑らかさに依存しない接錐の一意性を証明する。
• 非コンパクトな極限を調べるために、無限遠における接錐を研究し、極限空間 $ Z $ 上での正則関数の多項式成長環 $ R(Z) $ が有限生成であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様な幾何的境界を持つ極化されたケーラー多様体の列のグロモフ＝ハウスドルフ極限は、自然に複素解析的空間であるか？
• RQ2 このような極限上での多項式成長を示す正則関数の環は有限生成か？
• RQ3 これらの極限の特異点における接錐は、アフィン代数的多様体としての標準的構造を有するか？
• RQ4 断面が滑らかでない場合でも、特異点における接錐は一意的か？
• RQ5 極限空間の代数的構造を、非コンパクトな極限、特に無限遠における極限へと拡張できるか？

主な発見

• 一様に有界な幾何的クラス $ \tilde{\frak{K}}(n, \tilde{\rho}, V) $ に属する列のグロモフ＝ハウスドルフ極限 $ (Z, \bar{\rho}) $ は、構造層 $ \bar{\rho}_* \bar{\rho}_{\bar{\rho}} $ を持つ正規複素解析的空間である。
• 接錐 $ C(Y) $ 上での多項式成長を示す正則関数の環 $ R(C(Y)) $ は有限生成であり、$ \mathrm{Spec}(R(C(Y))) $ は $ (C(Y), \mathcal{O}_{C(Y)}) $ と複素解析的に同型である。
• 任意の点 $ p $ において、接錐は距離的コーンとしても、アフィン代数的多様体としても一意的であり、断面の滑らかさを仮定しない。
• 非コンパクトな極限 $ Z $ 上での多項式成長を示す正則関数の環 $ R(Z) $ は有限生成であり、$ \mathrm{Spec}(R(Z)) $ は $ (Z, \mathcal{O}_Z) $ と複素解析的に同型である。
• $ R(C(Y)) $ の次数構造は、極限計量によって誘導される点 $ p $ における正則関数の芽の局所環のフィルトレーションに対応する。
• 結果は、無限遠における接錐に対しても拡張され、類似の有限生成性および同型定理が成り立つ。