[論文レビュー] Gromov Invariants and Symplectic Maps

Eleny-Nicoleta Ionel, Thomas H. Parker|ArXiv.org|Mar 20, 1997

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティック写像シリンダ $X_f$ 及びそのファイバー和のグロモフ不変量を、シンプレクティック同相写像 $f$ のリーマン・ゼータ関数を用いて計算し、非ケーラーなシンプレクティック多様体を区別する計算的手法を提供する。シンプレクティック的手法を用いて、フィンツシェルとスターンが最近発見したエキゾチックな楕円的表面および6次元多様体を構成し、不変量をねじれ多項式と関連付ける。

ABSTRACT

Given a symplectomorphism f of a symplectic manifold X, one can form the `symplectic mapping cylinder' $X_f = (X imes R imes S^1)/Z$ where the Z action is generated by $(x,s,t)\mapsto (f(x),s+1,t)$. In this paper we compute the Gromov invariants of the manifolds $X_f$ and of fiber sums of the $X_f$ with other symplectic manifolds. This is done by expressing the Gromov invariants in terms of the Lefschetz zeta function of f and, in special cases, in terms of the Alexander polynomials of knots. The result is a large set of interesting non-Kahler symplectic manifolds with computational ways of distinguishing them. In particular, this gives a simple symplectic construction of the `exotic' elliptic surfaces recently discovered by Fintushel and Stern and of related `exotic' symplectic 6-manifolds.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体 $X$ 上のシンプレクティック同相写像 $f$ から構成されるシンプレクティック写像シリンダ $X_f$ のグロモフ不変量を計算すること。
• これらの不変量を $X_f$ と他のシンプレクティック多様体とのファイバー和へと拡張すること。
• 写像 $f$ の力学的不変量を用いて、非ケーラーなシンプレクティック多様体を区別する計算フレームワークを確立すること。
• フィンツシェルとスターンが最近発見したエキゾチックな楕円的表面および6次元多様体をシンプレクティック的手法で構成すること。
• グロモフ不変量を、ねじれ多項式などのトポロジー的不変量と関連付けること。

提案手法

• シンプレクティック同相写像 $f$ に対して、$\mathbb{Z}$-作用が $(x,s,t) \mapsto (f(x), s+1, t)$ で生成される $(X \times \mathbb{R} \times S^1)/\mathbb{Z}$ としてシンプレクティック写像シリンダ $X_f$ を構成する。
• シンプレクティック同相写像 $f$ のリーマン・ゼータ関数を用いて、$X_f$ のグロモフ不変量を表現する。
• 特殊な場合において、ファイバー化されたリンクのモノドロミーを介して、不変量をねじれ多項式と関連付ける。
• ファイバー和の操作を用いて新しいシンプレクティック多様体を構築し、$X_f$ や和因子の不変量からそれらのグロモフ不変量を計算する。
• シンプレクティック位相幾何学およびグロモフ・ウィッテン理論の技術を用いて、得られる多様体の不変量を計算する。
• 写像シリンダの構成がシンプレクティック構造を保存し、擬複素曲線の制御を可能にすることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック同相写像 $f$ に関連するシンプレクティック写像シリンダ $X_f$ のグロモフ不変量をどのように計算できるか。
• RQ2 写像 $f$ のリーマン・ゼータ関数と $X_f$ のグロモフ不変量との関係は何か。
• RQ3 $X_f$ を含むファイバー和のグロモフ不変量は、和因子の不変量で表現できるか。
• RQ4 これらの不変量は、非ケーラーなシンプレクティック多様体をどの程度区別できるか。
• RQ5 このフレームワークを用いて、エキゾチックなシンプレクティック6次元多様体および楕円的表面を構築・同定できるか。

主な発見

• シンプレクティック写像シリンダ $X_f$ のグロモフ不変量は、シンプレクティック同相写像 $f$ のリーマン・ゼータ関数によって完全に決定される。
• 特殊な場合において、$X_f$ の不変量は、$f$ の力学的挙動から生じるねじれ多項式と関連している。
• この方法は、非ケーラーなシンプレクティック多様体の広いクラスを区別する計算的ツールを提供する。
• この構成により、フィンツシェルとスターンが発見したエキゾチックな楕円的表面のシンプレクティック実現が得られる。
• $X_f$ と他のシンプレクティック多様体とのファイバー和は、和因子の不変量を介して計算可能なグロモフ不変量を継承する。
• このアプローチにより、シンプレクティック位相幾何学とねじれ理論の間を、シンプレクティック同相写像の力学的不変量を通じて結ぶ橋渡しがなされる。