[論文レビュー] Gromov--Witten invariants for mirror orbifolds of simple elliptic singularities

Ikuo Satake, Atsushi Takahashi|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、重み付き射影直線 $×^1_{3,3,3}$ のGromov–Witten理論、$E_6^{(1,1)}$ 型の楕円的ワイル群の不変理論、および単純な楕円的特異点 $T_{3,3,3}$ の普遍展開における無限遠点での構造の間で、Frobenius多様体の同型を確立する。また、生成関手0および生成関手1のGromov–Wittenポテンシャルが準モジュラー形式として表現されることを証明し、K. Saitoが研究したエータ積のフーリエ係数に幾何的解釈を与える。

ABSTRACT

We consider a mirror symmetry of simple elliptic singularities. In particular, we construct isomorphisms of Frobenius manifolds among the one from the Gromov--Witten theory of a weighted projective line, the one from the theory of primitive forms for a universal unfolding of a simple elliptic singularity and the one from the invariant theory for an elliptic Weyl group. As a consequence, we give a geometric interpretation of the Fourier coefficients of an eta product considered by K. Saito.

研究の動機と目的

• K. Saitoが研究したエータ積のフーリエ係数を、鏡対称性を通じて幾何的実現すること。
• Gromov–Witten理論、$E_6^{(1,1)}$ の不変理論、および $T_{3,3,3}$ 特異点の無限遠点における普遍展開から生じるFrobenius多様体の間の同型の存在を証明すること。
• $×^1_{3,3,3}$ の生成関手0および生成関手1のGromov–Wittenポテンシャルが準モジュラー形式として表現されることを確認すること。
• $×^1_{3,3,3}$ オルビフォールドのG関数が、既知の鏡対称性の結果および無限遠点における原始形式の結果と整合することを確認すること。

提案手法

• 生成関手0および生成関手1のポテンシャルを用いて、オルビフォールド $×^1_{3,3,3}$ のGromov–Witten理論からFrobenius多様体を構成する。
• WDVV方程式の解の一意性を用いて、Frobenius多様体間の同型を確立する。
• Saitoの原始形式理論を用い、$c = ∞$ における $T_{3,3,3}$ 特異点の普遍展開にFrobenius多様体構造を定義する。
• 既知の文献における同型関係を用い、楕円的ワイル群 $W_{E_6^{(1,1)}}$ の不変理論から得られるFrobenius多様体を他の二つと結びつける。
• オルビフォールドの安定写像の数え上げを用いて生成関手1のGromov–Wittenポテンシャルを計算し、$-\frac{1}{3}\log(\eta(q^3))$ と一致することを検証する。
• Dubrovin–ZhangのVirasoro制約およびStrachanによる $×^1_{3,3,3}$ のG関数計算と整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K. Saitoのエータ積のフーリエ係数は、オルビフォールドのGromov–Witten不変量を用いて幾何的に解釈可能か？
• RQ2 Gromov–Witten理論、$E_6^{(1,1)}$ の不変理論、および $T_{3,3,3}$ の無限遠点における普遍展開から生じるFrobenius多様体は同型か？
• RQ3 $×^1_{3,3,3}$ の生成関手1のGromov–Wittenポテンシャルは準モジュラー形式として表現可能か？
• RQ4 $×^1_{3,3,3}$ オルビフォールドのG関数は、既知の結果 $-\frac{1}{3}\log(\eta(q^3))$ と一致するか？
• RQ5 無限遠点における原始形式の選び方の違いは、鏡対称性の文脈におけるFrobenius多様体構造にどのように影響するか？

主な発見

• $M_{\u00d7^1_{3,3,3}}$、$M_{T_{3,3,3},\infty}$、および $M_{E_6^{(1,1)}}$ は同型であり、$(3,3,3)$ の場合の鏡対称性対応を確立する。
• 生成関手0のGromov–Wittenポテンシャル $F_0^{\u00d7^1_{3,3,3}}$ は、WDVV解の一意性によって保証されるように準モジュラー形式である。
• 生成関手1のGromov–Wittenポテンシャル $F_1^{\u00d7^1_{3,3,3}}$ は明示的に $-\frac{1}{3}\log(\eta(q^3))$ として与えられ、その準モジュラー性が確認される。
• この $F_1^{\u00d7^1_{3,3,3}}$ の計算は、Dubrovin–ZhangのVirasoro制約およびStrachanによる $×^1_{3,3,3}$ のG関数結果と整合する。
• ポテンシャルの一意性および無限遠点における原始形式からのフラット座標の選択を用いて、同型 $M_{\u00d7^1_{3,3,3}} \simeq M_{T_{3,3,3},\infty}$ が確立される。
• エータ積のフーリエ係数の幾何的解釈は、Gromov–Witten不変量 $a_0(1) = 1$ によって実現され、これは $\u00d7^1_{3,3,3}$ 上の恒等写像を数える。