[論文レビュー] Gromov-Witten theory of elliptic orbifold P^1 and quasi-modular forms

Todor Milanov, Yongbin Ruan|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、重み (3,3,3)、(2,4,4)、および (2,3,6) を持つ3種類の楕円的オルビフォールド $\mathbb{P}^1$ に対して、Gromov-Witten 不変量のモジュラー性を確立し、特定のモジュラー変換の下でその生成関数が準モジュラー形式に収束することを示している。Givental の高 genus 理論と反正則的補完を用いて、著者らはこれらの不変量が $SL_2(\mathbb{Z})$ の有限指数部分群に沿って変化することを証明し、$q = e^{2\pi i\tau/N}$ を用いて、Calabi-Yau 目的を超えたモジュラー性結果を拡張している。

ABSTRACT

In this paper we prove that the GW invariants of the elliptic orbifold lines with weights (3,3,3), (4,4,2), and (6,3,2) are quasi-modular forms. Our method is based on Givental's higher genus reconstruction formalism applied to the settings of Saito's Frobenius structures for simple elliptic singularities. Our results are part of a larger project whose goal is to prove the Landau-Ginzburg/Calabi-Yau correspondence for simple elliptic singularities. The correspondence describes a relation between Gromov-Witten theory (of a certain hypersurface) and Fan-Jarvis-Ruan-Witten theory (of a certain Landau-Ginzburg potential). Roughly, the main statement is that the Saito's Frobenius manifold for simple elliptic singularities has some special points such that locally near these points the Frobenius structure governs one of the two theories. The local part of the correspondence is established in a companion article by M. Krawitz and Y. Shen, while here we describe the global picture.

研究の動機と目的

• 楕円的オルビフォールド $\mathbb{P}^1$ に対して、例外的重み (3,3,3)、(2,4,4)、(2,3,6) を持つ Gromov-Witten 不変量のモジュラー性を確立すること。
• Givental の高 genus ポテンシャルの枠組みを、非半単純なフォロービウス構造および非コンパクトな標的へと拡張すること。
• これらのオルビフォールドの総祖先ポテンシャルが、適切なモジュラー変換の下で準モジュラー形式であることを示すこと。
• これらのオルビフォールドの Gromov-Witten 理論を、Milnor 環と原始形式を通じて特異点論に接続すること。
• Okounkov-Pandharipande の手法とは異なる、反正則的補完とフォロービウス構造の技術を用いて、Gromov-Witten 理論におけるモジュラー性を示す新規な手法を提供すること。

提案手法

• 各オルビフォールド $\mathbb{P}^1$ に対応する単純な楕円的特異点の最小普遍変形上に、グローバルなフォロービウス構造を構成する。
• 振動的積分と Gelfand-Leray 周回を用いて、特異点論の文脈で原始形式を定義する。
• Givental の形式的体系を用いて、総祖先ポテンシャル $\mathcal{A}_t$ を定義し、非半単純な領域へと拡張する。
• 祖先ポテンシャルの反正則的補完を実行し、それを準モジュラー形式と関連付ける。
• 平坦座標のモジュラー変換と、マージナル方向における Gauss-Manin 接続を分析して、不変性の性質を導出する。
• Satake-Takahashi が確立したように、オルビフォールド量子コホノロジーと単純な楕円的特異点の Milnor 環との同型を根拠とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み (3,3,3)、(2,4,4)、(2,3,6) を持つ楕円的オルビフォールド $\mathbb{P}^1$ の Gromov-Witten 不変量は、パrameter $q = e^{2\pi i\tau/N}$ の適切な変換の下でモジュラー性を示すか？
• RQ2 反正則的補完とフォロービウス構造の技術を用いて、これらのオルビフォールドの総祖先ポテンシャルが準モジュラー形式であることを示せるか？
• RQ3 不変量のモジュラー性は、大複素構造極限におけるモノドロミーと Gauss-Manin 接続とどのように関係するか？
• RQ4 非半単純なフォロービウス構造に対して、祖先ポテンシャルを構成する際の原始形式と振動的積分の役割は何か？
• RQ5 特異点論的およびシンプレクティック的手法を用いて、Okounkov-Pandharipande の方法とは独立に、モジュラー性の結果を導出できるか？

主な発見

• 重み (3,3,3)、(2,4,4)、(2,3,6) を持つ3つの楕円的オルビフォールド $\mathbb{P}^1$ に対して、Gromov-Witten 不変量の生成関数は、それぞれ $q = e^{2\pi i\tau/3}$、$e^{2\pi i\tau/4}$、$e^{2\pi i\tau/6}$ の下で準モジュラー形式に収束する。
• 不変量は、特定の重みを伴う $SL_2(\mathbb{Z})$ の有限指数部分群 $\Gamma$ に沿って変化し、Calabi-Yau の場合を超えるモジュラー性が確認された。
• 反正則的補完を施した後、総祖先ポテンシャル $\mathcal{A}_t$ が準モジュラー形式であることが示され、高 genus Gromov-Witten 理論におけるモジュラー形式へのリンクが確立された。
• 原始形式は、パrameter $\sigma = s_{-1}$ に関する2階微分方程式に従う解空間を介して、Gelfand-Leray 周回の振動的積分から構成される。
• マージナル方向における Gauss-Manin 接続が、フォロービウス構造のモジュラー性を導出するのに用いられ、特に大複素構造極限において顕著である。
• 希釈シフトを避けるために、祖先ポテンシャルそのものに直接作業することで、Krawitz-Shen の共同研究における結果と整合的である。