[論文レビュー] Gromov Witten invariants of exploded manifolds

Brett Parker|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、通常交差除集合を含むシンプレクティック多様体の一般化である爆発多様体のカテゴリーにおいて、グロモフ・ウィッテン不変量を定義するフレームワークを確立する。$\bar{\nabla}$-方程式の多重摂動を用いて仮想的モジュライ空間を構成し、トロピカル曲線上で相対的不変量を合算するグリューニング定理を証明することで、著者はグロモフ・ウィッテン理論を特異的かつ退化した設定へと拡張する。これは、グロモフコンパクトネス条件を満たすコンパクトシンプレクティック多様体やトーリック多様体への応用を含む。

ABSTRACT

This paper describes the structure of the moduli space of holomorphic curves and constructs Gromov Witten invariants in the category of exploded manifolds. This includes defining Gromov Witten invariants relative to normal crossing divisors and proving the associated gluing theorem which involves summing relative invariants over a count of tropical curves.

研究の動機と目的

• 爆発多様体、通常交差除集合やトーリック退化を含むシンプレクティック多様体の一般化におけるグロモフ・ウィッテン理論を拡張すること。
• $\bar{\nabla}$-方程式の多重摂動を用いて、爆発多様体内の正則曲線の仮想的モジュライ空間を構成すること。
• 通常交差除集合に関する相対的グロモフ・ウィッテン不変量を定義すること。
• グロモフ・ウィッテン不変量がトロピカル曲線の和として表されるグリューニング定理を証明し、複素幾何学とトロピカル幾何学を結びつけること。
• グロモフコンパクトネスが成り立つ条件を確立し、積分に適したモジュライ空間の有限性とコンパクトネスを保証すること。

提案手法

• ほぼ複素構造 $J$ とターミング形式 $\omega$ を持つ爆発多様体 $\mathbb{B}$ における $C^{\infty,\underline{1}}$ 曲線のモジュライスタック $\sigma^{\omega}$ を構成する。
• 正則曲線の近傍における多重摂動を用いて、障害を重み付き分岐セクションによる層の方法で解消し、仮想的モジュライ空間 $\mathcal{M}_{g,[\gamma],\beta}$ を定義する。
• 微分形式の積分を用いて、$\mathbb{X}$ 上の微分形式 $\theta \in {}^r\Omega^*(\mathbb{X})$ におけるPoincaré双対性を用いて、仮想基本類を定義する。
• 曲線の端と穴をパrametrizeするための評価写像 $\psi: \mathcal{M}^{\omega}_{g,[\gamma],\beta} \to \overline{\mathcal{M}}_{g,[\gamma]} \times \operatorname{End}_{[\gamma]}\mathbb{B}$ を定義する。
• 相対的不変量のグリューニングを記述するため、トロピカル補完と $\gamma$-装飾を導入し、正則曲線の不変量とトロピカル曲線の数え上げを結びつける。
• コンパクトシンプレクティック多様体、トーリック多様体、$\mathbb{T}^n$ との積を含む、さまざまなクラスの爆発多様体に対してグロモフコンパクトネスを証明し、モジュライ空間の有限性とコンパクトネスを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 爆発多様体のカテゴリーにおいて、特に所定のトロピカル型を有し、通常交差除集合に対して相対的なグロモフ・ウィッテン不変量はどのように定義できるか？
• RQ2 爆発多様体内の正則曲線のモジュライ空間の構造は何か？ また、$\bar{\partial}$-方程式の多重摂動を用いて、どのように仮想的コンパクト化できるか？
• RQ3 爆発多様体における相対的不変量はどのようにグリューニングされ、トロピカル曲線はこのグリューニング過程で果たす役割は何か？
• RQ4 爆発多様体および爆発多様体の族において、グロモフコンパクトネスが成り立つ幾何的条件は何か？
• RQ5 爆発多様体における仮想基本類は微分形式の積分によって表現可能か？ また、この表現は構成における選択に依存しないか？

主な発見

• 仮想的モジュライ空間 $\mathcal{M}_{g,[\gamma],\beta}$ は $\bar{\partial}$-方程式の多重摂動を用いて構成され、well-defined な仮想基本類が得られる。
• グロモフ・ウィッテン不変量は、仮想的モジュライ空間上の微分形式の積分として定義され、爆発多様体の微分形式の精密デ・ラームコホロロジーにおけるPoincaré双対性により、選択に依存しない。
• グリューニング定理が証明された：爆発多様体の相対的不変量は、トロピカル曲線の和として得られ、正則曲線とトロピカル曲線の数え上げの間の対応関係を確立する。
• コンパクトシンプレクティック多様体にターミングほぼ複素構造が存在する場合、およびトーリック多様体や $\mathbb{T}^n$ との積においてグロモフコンパクトネスが成り立ち、モジュライ空間の有限性とコンパクトネスが保証される。
• この構成は、爆発多様体の族にも適用可能であり、引き戻しとファイバー積においてグロモフコンパクトネスが保たれるため、代数幾何における退化への応用が可能である。
• 例として、ゼロシンプレクティック形式を伴う $\mathbb{T}^n$ や、精錬と埋め込みの議論によりグロモフコンパクトネスが検証されたコンパクトシンプレクティック多様体が含まれる。