[論文レビュー] Gromov-Witten Invariants of Symplectic Sums

Eleny-Nicoleta Ionel, Thomas H. Parker|ArXiv.org|Jun 3, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、和成分の相対的インバリアントを用いて、codimension-twoの部分多様体に沿って構成されたシンプレクティック多様体のグロモフ＝ウィトテン不変量を計算するための公式を確立する。主な貢献は、和の不変量を成分の不変量から計算可能にする一般化された接合公式であり、これによりカポラーソ＝ヘリスの公式および有理的楕円的表面における有理的不変量のモジュラー形式構造の新証明が得られる。

ABSTRACT

The natural sum operation for symplectic manifolds is defined by gluing along codimension two submanifolds. Specifically, let X be a symplectic 2n-manifold with a symplectic (2n-2)-submanifold V. Given a similar pair (Y,W) with a symplectic identification V=W and a complex anti-linear isomorphism between the normal bundles of V and W, we can form the symplectic sum Z=X # Y. This note announces a general formula for computing the Gromov-Witten invariants of the sum Z in terms of relative Gromov-Witten invariants of (X,V) and (Y,W). Two applications are presented: a short derivation of the Caporaso-Harris formula [CH], and new proof that the rational enumerative invariants of the rational elliptic surface are given by the ``modular form'' (5.2).

研究の動機と目的

• codimension-twoの部分多様体に沿って接合されたシンプレクティック多様体のグロモフ＝ウィトテン不変量を計算する一般式を構築すること。
• 相対的グロモフ＝ウィトテン不変量の枠組みをシンプレクティック和の設定に拡張すること。
• シンプレクティック幾何学における数え上げ不変量の新たな計算ツールを提供すること。
• 公式を用いて、有理的楕円的表面におけるカポラーソ＝ヘリスの公式を導出し、有理的不変量のモジュラー形式構造を検証すること。

提案手法

• 2つのシンプレクティック多様体 X と Y を、共通のcodimension-twoのシンプレクティック部分多様体 V=W に沿って接合することでシンプレクティック和の操作を定義する。
• シンプレクティック接合の整合性を保証するため、V が X に埋め込まれるときの正規バンドルと W が Y に埋め込まれるときの正規バンドルの間の複素反線形同型写像を要請する。
• 部分多様体 V=W と交わる曲線の幾何を記述するため、ペア (X,V) および (Y,W) の相対的グロモフ＝ウィトテン不変量を導入する。
• 和 Z = X # Y の不変量を、(X,V) および (Y,W) の相対的不変量の積の和として表す接合公式を構成する。
• 既知の相対的不変量を活用して、有理的楕円的表面の不変量を計算する。
• 公式を用いて、複素射影平面 P^2 における有理的曲線の数え上げに関するカポラーソ＝ヘリスの公式を簡潔に導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック和のグロモフ＝ウィトテン不変量は、和成分の不変量からどのように計算できるか？
• RQ2 整合的なシンプレクティック和の構成に必要な正規バンドルの条件は何か？
• RQ3 和成分の相対的グロモフ＝ウィトテン不変量は、全体空間の不変量を完全に決定できるか？
• RQ4 接合公式は、カポラーソ＝ヘリスの公式のような既知の結果を回復できるか？
• RQ5 有理的楕円的表面における有理的数え上げ不変量の構造は、予想通りモジュラー形式によって記述されるか？

主な発見

• シンプレクティック和 Z = X # Y のグロモフ＝ウィトテン不変量は、(X,V) および (Y,W) の相対的不変量を含む明確な接合公式によって計算可能である。
• この公式により、複素射影平面における有理的曲線の数え上げに関するカポラーソ＝ヘリスの公式が、新しくかつ簡潔に導出された。
• 有理的楕円的表面における有理的数え上げ不変量がモジュラー形式によって支配されることを示し、予想された構造が確認された。
• 正規バンドルの反線形同型写像を含む指定された幾何的条件下で、接合プロセスに用いられる相対的不変量は適切に定義される。
• 直接計算が困難な場合でも、本手法は効果的に不変量を計算でき、広範な適用可能性を示した。