[論文レビュー] Gromov-Witten invariants of varieties with holomorphic 2-forms

Young‐Hoon Kiem, Jun Li|ArXiv.org|Jul 20, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、滑らかな代数的多様体に holomorphic 2-form が備わっている場合に、その2形式の退化点に制限された仮想基本類をもつ、局所化された Gromov-Witten (GW) 不変量を導入する。この手法は、cosection 局在化技術を用い、仮想基本類を2形式の退化点に局在化する。主な貢献は、変形不変性を持つ不変量を定義し、多様体が固有である場合には通常の GW 不変量を回復し、$ p_g > 0 $ である最小一般型表面の低次の GW 不変量に対して公式を証明し、Maulik と Pandharipande の予想を確認することにある。

ABSTRACT

We show that a holomorphic two-form $θ$ on a smooth algebraic variety X localizes the virtual fundamental class of the moduli of stable maps $\mgn(X,β)$ to the locus where $θ$ degenerates; it then enables us to define the localized GW-invariant, an algebro-geometric analogue of the local invariant of Lee and Parker in symplectic geometry, which coincides with the ordinary GW-invariant when X is proper. It is deformation invariant. Using this, we prove formulas for low degree GW-invariants of minimal general type surfaces with p_g>0 conjectured by Maulik and Pandharipande.

研究の動機と目的

• holomorphic 2-form を用いた Gromov-Witten 不変量の新しい代数幾何的局在化技術の開発。
• 安定写像のモジュライ空間上に holomorphic 2-form の退化点に台を持つ局所化仮想基本類の定義。
• 局所化 GW 不変量が弱い条件下で変形不変性を示すことの証明。
• 最小一般型表面 $ S $ に対して、$ p_g > 0 $ の場合の低次の GW 不変量を計算し、Maulik と Pandharipande の予想を検証すること。
• holomorphic 2-form を持つ曲面に沿ってファイバーする3次元多様体の GW 不変量を、逐次的局在化によって曲線の不変量に還元すること。

提案手法

• 滑らかな多様体 $ X $ 上の holomorphic 2-form $ \theta $ から、$ \mathcal{O}b_{\mathcal{M}} \to \mathcal{O}_{\mathcal{M}} $ なる cosection $ \sigma $ を構成し、仮想サイクルを $ \sigma $ の退化点 $ Z(\sigma) $ に局在化する。
• 仮想基本類 $ [\mathcal{M}]^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}} \in H_*^{BM}(Z(\sigma)) $ を定義し、これは自然かつ弱い条件下で変形不変性を持つ。
• $ [\mathcal{M}]^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}} $ の $ H_*(\mathcal{M}) $ への押し出し写像が、$ X $ が固有である場合に通常の仮想クラスを回復することの証明。
• 局所化不変量を用いて、$ p_g > 0 $ である最小一般型表面 $ S $ の GW 不変量を、 genus $ K_S^2 + 1 $ の曲線 $ D $ の twisted GW 不変量に結びつける。この関係は、$ D $ 上の theta 特性 $ L $ の全空間を通じて成り立つ。
• 退化公式を適用し、全 GW 不変量を曲線の twisted 不変量および低次の相対局所化不変量に還元する。
• 組合せ的議論および仮想局在化技術を用いて、分岐2重被覆からの寄与を計算し、1次および2次不変量の最終公式を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体上の holomorphic 2-form を用いて、安定写像のモジュライ空間の仮想基本類をどのように局在化できるか。
• RQ2 局所化 GW 不変量が変形不変性を示すために必要な条件は何か。
• RQ3 局所化不変量は、固有多様体に対して通常の GW 不変量を回復または計算できるか。
• RQ4 曲線の theta 特性の全空間の局所化不変量は、$ p_g > 0 $ である最小一般型表面の GW 不変量を計算できるか。
• RQ5 この手法は、holomorphic 2-form を持つ曲面に沿ってファイバーする3次元多様体に拡張可能か。その場合、不変量を曲線レベルの計算に還元できるか。

主な発見

• $ \mathcal{M}_{g,n}(X,\beta) $ の仮想基本類は、$ \beta $ が $ \theta $-null 安定写像（つまり、$ \theta $ の退化点に像を含む写像）によって表される場合に限り、0でない。
• 局所化 GW 不変量は、cosection に対して弱い条件下で変形不変性を示し、シンプレクティック幾何学における Lee と Parker の結果を一般化する。
• 滑らかで最小の一般型表面 $ S $ に対して $ p_g > 0 $ ならば、すべての GW 不変量は $ \beta $ が $ c_1(K_S) $ の非負整数倍である場合に限り、0でない。
• 曲線 $ D $ の genus $ h = K_S^2 + 1 $ に対して、theta 特性 $ L $ の全空間の局所化 GW 不変量は、$ S $ の GW 不変量を計算する。このとき、自然な同型 $ \rho: H^*(S,\mathbb{Z}) \to H^*(X,\mathbb{Z}) $ が存在する。
• 1次および2次について、局所化不変量は Maulik と Pandharipande が予想した公式と一致し、分岐2重被覆からの寄与の組合せ的計算により検証された。
• この手法により、holomorphic 2-form を持つ曲面に沿ってファイバーする3次元多様体の GW 不変量は、局在化と仮想局在化を逐次的に行い、トーラス作用が存在する場合には曲線の不変量に還元できる。