[論文レビュー] Gromov-Witten theory and cycle-valued modular forms

Todor Milanov, Yongbin Ruan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、鏡映性を用いて、例外的特異点をもつ楕円的オーロリッド $\mathbb{P}^1$ に対する A-理論 Gromov-Witten 理論のモジュラー性を確立する。祖先 Gromov-Witten 不変量が鏡写像の下でサイクル値をとる擬モジュラー形式に収束することを示し、グローバル B-理論 CohFT と反正則的補完を用いて、生成関数が正則に拡張され、モジュラー群作用の下で擬モジュラー形式として変換することを示した。これにより、これらのケースにおける BCOV 猜測の厳密な数学的実現が達成された。

ABSTRACT

In this paper, we proved generating functions of Gromov-Witten cycles of the elliptic orbifold lines with weights (3,3,3), (4,4,2), and (6,3,2) are cycle-valued quasi-modular forms. This is a generalization of Milanov and Ruan's work on cycle-valued level. First we construct a global cohomology field theory (CohFT) for simple elliptic singularities (modulo an extension problem) and prove its modularity. Then, we apply Teleman's reconstruction theorem to prove mirror theorems on cycled-valued level and match it with a CohFT from Gromov-Witten theory of a corresponding orbifold.This solves the extension property as well as inducing the modularity for a Gromov-Witten CohFT.

研究の動機と目的

• 例外的特異点をもつ楕円的オーロリッド $\mathbb{P}^1$ に対する A-理論 Gromov-Witten 理論のモジュラー性を、物理的および部分的な数学的結果を拡張して、厳密に確立すること。
• 鏡写像の下で祖先 Gromov-Witten 不変量がサイクル値をとる擬モジュラー形式に収束することを証明し、正則性の欠如と拡張の問題を解決すること。
• Givental の形式的体系と反正則的補完を用いて構成されたグローバル B-理論 CohFT が、A-理論理論と整合するモジュラー変換を実現することを示すこと。
• cusp $ q = 0 $ における Gromov-Witten ポテンシャルの正則拡張を確立し、モジュラー的コンactificationを保証すること。
• 精確な鏡写像を用いて A-理論と B-理論の視点を統合し、A-理論の生成関数と B-理論におけるモジュラー対象との間の同値性を証明すること。

提案手法

• 単純な楕円的特異点に対する Saito 理論と原始形式を用いて、B-理論にグローバルな Frobenius 多様体構造を構築する。
• Frobenius 多様体に Givental の量子化形式的を適用して、グローバル B-理論 CohFT $ \Lambda_{g,n}^{W}(\mathbf{t}^B) $ を定義する。
• 反正則的補完を $ \Lambda_{g,n}^{W}(\mathbf{t}^B) $ に適用し、正則性の欠如方程式が支配する非正則的依存性を導入する。
• 鏡写像 $ q = e^{2\pi i \tau / N} $ を用いて、A-理論の生成関数 $ \Lambda_{g,n}^{\mathcal{X}}(q) $ を B-理論の $ \Lambda_{g,n}^{W}(\mathbf{t}^B) $ に結びつける。ここで $ \mathbf{t}^B \in D^{B}_\epsilon $ である。
• Teleman の再構成定理を適用し、半単純領域において A-理論 CohFT $ {}_{\mathbf{t}}\Lambda^{\mathcal{X}} $ が B-理論 $ \Lambda_{g,n}^{W}(\mathbf{t}^B) $ と一致することを示す。
• Coates–Iritani の補題を活用し、収束するべき級数環内での生成関数の収束性と正則的拡張を証明し、解析性とモジュラー性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 例外的特異点をもつ楕円的オーロリッド $ \mathbb{P}^1 $ に対する A-理論 Gromov-Witten 不変量が、サイクル値をとる擬モジュラー形式として変換されることを示せるか？
• RQ2 Frobenius 多様体構造から構成されたグローバル B-理論 CohFT は、鏡映性を介して A-理論とどのように関係するか？
• RQ3 非正則的 Gromov-Witten 生成関数に対するモジュラー不変性を実現するための反正則的補完の役割は何か？
• RQ4 祖先 Gromov-Witten ポテンシャルは cusp $ q = 0 $ において正則に拡張可能か？ そしてこれはどのようにモジュラー的コンパクト化に関係するか？
• RQ5 サイクル値をとるモジュラー形式の枠組みの中で、A-理論生成関数の収束性と解析性を厳密に確立できるか？

主な発見

• 例外的特異点をもつ三つの楕円的オーロリッド $ \mathbb{P}^1 $ に対して、A-理論の祖先 Gromov-Witten 不変量 $ \Lambda_{g,n}^{\mathcal{X}}(q) $ がサイクル値をとる擬モジュラー形式に収束することが示された。
• 生成関数 $ \Lambda_{g,n}^{\mathcal{X}}(q) $ は cusp $ q = 0 $ において正則に拡張可能であり、モジュラー的コンパクト化とモジュラー群作用への整合性を保証する。
• すべての $ \mathbf{t} \in D_\epsilon $ に対して、A-理論 CohFT $ {}_{\mathbf{t}}\Lambda^{\mathcal{X}} $ と B-理論 CohFT $ \Lambda_{g,n}^{W}(\mathbf{t}^B) $ が一致し、コホモロジー類のレベルで鏡映性が確立された。
• B-理論 CohFT $ \Lambda_{g,n}^{W}(\mathbf{t}^B) $ は、領域 $ D^{B}_\epsilon $ 全体で正則であることが示され、特異点集合の codimension 1 の $ \mathbb{C}^* $-不変な解析的部分集合でのみ極を持つ。この特異点集合は横断性と $ \mathbb{H} \times \{0\} $ が特異点集合に含まれないことに基づき除外される。
• $ \Lambda_{g,n}^{W}(\mathbf{t}^B) $ がモジュラー群 $ \Gamma \subset SL_2(\mathbb{Z}) $ の作用の下で適切な重みの擬モジュラー形式として変換されることを証明した。ここで $ N = 3,4,6 $ に対して $ q = e^{2\pi i \tau / N} $ である。
• Hartogs の定理と $ \mathbb{C}^* $-不変性を用いて、拡張性質を確立した。これにより、$ \Lambda_{g,n}^{W}(\mathbf{t}^B) $ の係数が、すべてのモジュライ空間 $ \mathcal{M} $ に正則に拡張可能であることが示され、潜在的な特異点が解消された。