[論文レビュー] Gromov-Witten Theory of Quotient of Fermat Calabi-Yau varieties

Hiroshi Iritani, Todor Milanov+2 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、グローバルBモデル技法を用いて、鏡像対称性をオルビフォールドフェルマーCalabi-Yau超曲面に対して確立した。Landau-Ginzburg/Calabi-Yau対応とGromov-Wittenインバリアントのモジュラー性を証明し、量子Dモジュールと双対Landau-GinzburgモデルのFJRW理論の間の鏡像写像を構成した。FJRW理論の全祖先生成関数が、量子シンプレクティック変換によってGromov-Witten生成関数に変換されることを証明した。

ABSTRACT

We construct a global B-model for weighted homogeneous polynomials based on K. Saito's theory of primitive forms. Our main motivation is to give a rigorous statement of the so called global mirror symmetry conjecture relating Gromov-Witten invariants and Fan--Jarvis--Ruan--Witten invariants. Furthermore, our construction allows us to generalize the notion of a quasi-modular form and holomorphic anomaly equations. Finally, we prove the global mirror symmetry conjecture for the Fermat polynomials.

研究の動機と目的

• グローバル鏡像対称性を用いて、オルビフォールドフェルマーCalabi-Yau超曲面に対するLandau-Ginzburg/Calabi-Yau対応を証明すること。
• オルビフォールド商の文脈において、Gromov-Wittenインバリアントが擬モジュラー形式であることを示すことにより、それらのモジュラー性を確立すること。
• オルビフォールド商の量子Dモジュールと双対Landau-GinzburgモデルのFJRW理論の間の鏡像写像を構成すること。
• FJRW理論の全祖先生成関数が、量子シンプレクティック変換を介してGromov-Witten生成関数と関連づけられることを検証すること。
• Genus 0および高(genus)の両設定において、AモデルとBモデルのペアリングおよび反対部分空間の同値性を証明すること。

提案手法

• ねじれたde Rhamコホロロジーと高次残留ペアリングを含む、グローバルBモデル技法を用いる。
• Giventalの量子化形式主義を用いて、量子Dモジュールの全祖先生成関数と抽象Fockバンドルを構成する。
• トーリック設定を用いてFJRW理論におけるI関数を構成し、局在化およびグラフ空間技法を用いてその収束性を証明する。
• オルビフォールドGromov-Witten理論とFJRW理論の量子Dモジュールの間の同型を証明することで、鏡像対称性を確立する。
• Bモデルにおける偏極形式をAモデルにおけるPoincaréペアリングと一致させ、反対部分空間の整合性を検証する。
• I関数の係数構造における帰納法と再帰的関係を用いて、J関数の正則性と再構成性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オルビフォールドフェルマーCalabi-Yau超曲面に対して、Landau-Ginzburg/Calabi-Yau対応をどのように証明できるか？
• RQ2 フェルマーCalabi-Yau多様体のオルビフォールド商のGromov-Wittenインバリアントは、擬モジュラー形式であるか？
• RQ3 オルビフォールド商の量子DモジュールとFJRW理論の間の鏡像写像を明示的に構成し、検証できるか？
• RQ4 鏡像対称性の下で、AモデルとBモデルの反対部分空間およびペアリングはどのように一致するか？
• RQ5 FJRW理論の全祖先生成関数とオルビフォールド商のGromov-Witten生成関数との正確な関係は何か？

主な発見

• Landau-Ginzburg/Calabi-Yau対応は、オルビフォールドフェルマーCalabi-Yau超曲面に対して成立し、Gromov-Witten生成関数が量子シンプレクティック変換によってFJRW生成関数に変換されることを示した。
• Gromov-Wittenインバリアントの生成関数が擬モジュラー形式であることが示され、オルビフォールド設定におけるモジュラー性予想が裏付けられた。
• FJRW理論におけるI関数は収束し、鏡像写像の下でオルビフォールドGromov-Witten理論のJ関数と一致する。
• オルビフォールド商 $[X_W / \tilde{G}]$ の量子Dモジュールは、$(W,G)$ のFJRW理論の量子Dモジュールと同型であり、Dモジュールのレベルで鏡像対称性が確立された。
• Bモデルにおける偏極形式はAモデルにおけるPoincaréペアリングと一致し、鏡像写像の下で反対部分空間が整合的である。
• J関数の $ε \to 0$ における極限は $-zI^0_{\rm LG}(y,-z)$ に一致し、これはFJRW理論のラグランジュアンコーンに属する。これにより、祖先生成関数の再構成が確認された。