[論文レビュー] Grothendieck-Serre Conjecture I: Appendix

Ivan Panin, Anastasia Stavrova+1 more|ArXiv.org|Oct 28, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この付録では、無限体上の滑らかで純次元的な部分多様体と超曲面の横断的交わりについて、Bertini型の定理を確立する。ArtinのArtin近傍に関する結果を拡張したものであり、十分に高い次数の一般な超曲面が有限個の点を含む場合、その滑らかで純次元的な部分多様体との交わりが横断的であり、かつ既約性を保つことを証明する。この結果は、コhomological descentおよびアズマヤ代数に対するHilbertの定理90を用いて、Grothendieck–Serre予想への重要な応用を可能にする。

ABSTRACT

We prove here some supplementary statements that appeared without proof in I. Panin, A. Stavrova, N. Vavilov, On Grothendieck--Serre's conjecture concerning principal $G$-bundles over reductive group schemes:I, arXiv:0905.1418

研究の動機と目的

• 無限体上での滑らかな部分多様体と指定された点を含む状況に、ArtinのBertini型定理を拡張すること。
• 一般な超曲面と滑らかな部分多様体との交わりが横断的であるための条件を確立すること。
• 交わりが、余次元が次元未満の場合に、既約性（または幾何的既約性）を保つことを証明すること。
• 適切な近傍の構成とコhomological descentの適用により、Grothendieck–Serre予想の証明を支援すること。
• シャピロ＝ファドデエフの補題およびアズマヤ代数に対するHilbertの定理90を用いて、半局所スキーム上のバンドルを自明化すること。

提案手法

• 有限個の点における射影空間の吹き上げを用いて、吹き上げ上の非常に正則な線分束を構成し、より高次元の射影空間への閉埋め込みを可能にする。
• 与えられた点で消える次数dの超曲面の理想層の全局的切断を、埋め込み空間内の超平面と同一視する。
• 埋め込み多様体に対してArtinの横断性結果（[A, Exp. XI] の定理2.1）を適用し、交わりの横断性を導出する。
• 基本点の上に位置する点でも横断性を保証するために、次数dを増大させ、O(d)/I^2(d)の全局的切断の上への全射性を用いる。
• Weilの制限とシャピロ＝ファドデエフの補題を用いて、P^1上のコhomology類を、有限エタール被覆による基底の変更を通して関連付ける。
• アズマヤ代数に対するHilbertの定理90を適用し、ファイバー上のバンドルの自明性とHorrocksの定理によるベクトルバンドルの自明性を活用して、半局所スキーム上の主バンドルを自明化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 十分に高い次数の一般な超曲面族が、滑らかな部分多様体と横断的に交わる条件は何か？
• RQ2 このような交わりが、部分多様体の既約性（または幾何的既約性）を保つのはいつか？
• RQ3 有限個の点を除いた無限体上での滑らかなスキームに対して、適切なArtin近傍をどのように構成できるか？
• RQ4 コhomological descent技術とHilbertの定理90を組み合わせることで、再帰的群スキーム値をとるP^1上の主バンドルを自明化できるか？
• RQ5 Grothendieck–Serre予想の文脈において、Weilの制限は、基底から有限被覆へのコhomology類の持ち上げにどのように寄与するか？

主な発見

• 任意の無限体k、P^n_k内の有限個の閉点、およびV' ⊂ V ⊂ P^n_k となる滑らかで純次元的な部分多様体V'に対して、ある整数dが存在し、その点を含む十分に一般な次数dの超曲面に対して、V'との交わりが横断的である。
• Vが既約（それぞれ幾何的既約）であり、s < r = dim V ならば、同じdおよび一般な超曲面に対して、交わりY ∩ Vは既約（それぞれ幾何的既約）である。
• 吹き上げと非常に正則性による埋め込みの構成により、代数的閉包上で横断的であることは、基本体上でも横断的であることを保証する。
• P^1 ×_U V 上のバンドルFは、ファイバー上で自明であり、関連するベクトルバンドルがHorrocksの定理により自明であるため、自明である。
• 半局所基底V上でアズマヤ代数のコhomology類が自明であることから、H-バンドルFはVから引き戻されたものであり、したがって自明である。
• 元のG-バンドルEは、基底U上のG-バンドルから引き戻されたものであるため、Grothendieck–Serre予想における主要な降下ステップが証明される。