[論文レビュー] Ground states for semi-relativistic Schrödinger-Poisson-Slater energies

Jacopo Bellazzini, Tohru Ozawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^3$ 上で $L^2$-臨界条件の下、半相対論的シュレーディンガー＝ポアソン＝スレイターエネルギー汎関数の基底状態の存在を確立する。$\alpha, \beta > 0$ に対して、$\rho > 0$ が十分小さいとき、最小化子が存在することを証明する。主な貢献は、運動エネルギーと交換項を含む新しい鋭いクーロンエネルギーの下界を導出し、コンパクト性を保証し、濃縮・コンパクト性枠組みにおける散逸や二分法の可能性を排除するものである。

ABSTRACT

We prove the existence of ground states for the semi-relativistic Schrödinger-Poisson-Slater energy $$I^{α,β}(ρ)=\inf_{\substack{u\in H^\frac 12(\R^3) \int_{\R^3}|u|^2 dx=ρ}} \frac{1}{2}\|u\|^2_{H^\frac 12(\R^3)} +α\int\int_{\R^{3} imes\R^{3}} \frac{| u(x)|^{2}|u(y)|^2}{|x-y|}dxdy-β\int_{\R^{3}}|u|^{\frac{8}{3}}dx$$ $α,β>0$ and $ρ>0$ is small enough. The minimization problem is $L^2$ critical and in order to characterize of the values $α, β>0$ such that $I^{α, β}(ρ)>-\infty$ for every $ρ>0$, we prove a new lower bound on the Coulomb energy involving the kinetic energy and the exchange energy. We prove the existence of a constant $S>0$ such that $$\frac{1}{S}\frac{\|φ\|_{L^\frac 83(\R^3)}}{\|φ\|_{\dot H^\frac 12(\R^3)}^\frac 12}\leq \left (\int\int_{\R^3 imes \R^3} \frac{|φ(x)|^2|φ(y)|^2}{|x-y|}dxdy ight)^\frac 18 $$ for all $φ\in C^\infty_0(\R^3)$. Eventually we show that similar compactness property fails provided that in the energy above we replace the inhomogeneous Sobolev norm $\|u\|^2_{H^\frac 12(\R^3)}$ by the homogeneous one $\|u\|_{\dot H^\frac 12(\R^3)}$.

研究の動機と目的

• 半相対論的シュレーディンガー＝ポアソン＝スレイターエネルギー汎関数が $\mathbb{R}^3$ で $L^2$-臨界条件を満たす場合の最小化子（基底状態）の存在を確立すること。
• 非線形項 $|u|^{8/3}$ の臨界スケーリングに起因する $H^{1/2}(\mathbb{R}^3)$ 上でのコンパクト性の欠如という課題を解決すること。
• $\alpha, \beta > 0$ のどの値に対して、すべての $\rho > 0$ に対して、下界 $I^{\alpha,\beta}(\rho)$ が有限に保たれるかを特定すること、特に $\rho$ が小さい場合に注目する。
• コンパクト性を保証するために不可欠な、$L^{8/3}$-ノルム、同次 $H^{1/2}$-セミノルム、およびクーロンエネルギーの間の新しい鋭い不等式を証明すること。

提案手法

• 最小化列における散逸および二分法を排除するため、濃縮・コンパクト性の原理の適用。
• 新しい鋭い不等式の導入：すべての $\varphi \in C^\infty_0(\mathbb{R}^3)$ に対して、$ \frac{1}{S} \frac{\|\varphi\|_{L^{8/3}}}{\|\varphi\|_{\dot{H}^{1/2}}^{1/2}} \leq \left( \iint \frac{|\varphi(x)|^2 |\varphi(y)|^2}{|x-y|} \, dx dy \right)^{1/8} $ が成り立つ。
• ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフの不等式と補間を用いて、交換項をクーロンエネルギーと運動エネルギーの観点から制御すること。
• スケーリング挙動 $u \mapsto \theta^{3/2} u(\theta x)$ の分析により、最小化子に必要な条件を導出すること。
• すべての $0 < \mu < \rho$ に対して、強下付き加法性不等式 $I^{\alpha,\beta}(\rho) < I^{\alpha,\beta}(\mu) + I^{\alpha,\beta}(\rho - \mu)$ が成り立つことを証明し、二分法の可能性を排除すること。
• $I^{\alpha,\beta}(\rho)/\rho$ の単調性に基づく背理法を用いて、$\rho$ が小さいとき $I^{\alpha,\beta}(\rho) > -\infty$ であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半相対論的シュレーディンガー＝ポアソン＝スレイターエネルギーの下界 $I^{\alpha,\beta}(\rho)$ が、$\alpha, \beta > 0$ および $\rho > 0$ のどの条件下で有限に保たれるか。
• RQ2 この $L^2$-臨界問題において、$H^{1/2}(\mathbb{R}^3)$ の枠組みで濃縮・コンパクト性の原理を用いて散逸および二分法を効果的に排除できるか。
• RQ3 運動エネルギーと交換エネルギーを用いてクーロンエネルギーを制御できる新しい鋭い不等式が存在するか。その不等式が最小化列のコンパクト性を保証するのに十分か。
• RQ4 この最小化問題において、非同次 $H^{1/2}$-ノルムとは異なり、同次 $\dot{H}^{1/2}$-ノルムは同様のコンパクト性性質を満たさないか。
• RQ5 基底状態が存在するための $\rho$ の正確な閾値は何か。その閾値は $\alpha$ と $\beta$ にどのように依存するか。

主な発見

• 新しい鋭い不等式が証明された：すべての $\varphi \in C^\infty_0(\mathbb{R}^3)$ に対して、$ \frac{1}{S} \frac{\|\varphi\|_{L^{8/3}}}{\|\varphi\|_{\dot{H}^{1/2}}^{1/2}} \leq \left( \iint \frac{|\varphi(x)|^2 |\varphi(y)|^2}{|x-y|} \, dx dy \right)^{1/8} $ が成り立ち、$S > 0$ は普遍定数である。
• 十分に小さい $\rho > 0$ に対して、下界 $I^{\alpha,\beta}(\rho)$ は有限であり、かつ $-\infty$ よりも厳密に大きい。これにより、基底状態の存在が保証される。
• 濃縮・コンパクト性の原理を用いて最小化子の存在が確立され、新しい不等式により散逸が排除され、強下付き加法性により二分法の可能性が排除される。
• 同次エネルギー汎関数 $\tilde{\mathcal{E}}^{\alpha,\beta}(u)$ は、すべての $\rho < \tilde{\rho}$ に対して $\tilde{I}^{\alpha,\beta}(\rho) = 0$ を満たすため、同次系では非自明な最小化子は存在しない。
• 非同次 $H^{1/2}$-ノルムを同次 $\dot{H}^{1/2}$-ノルムに置き換えると、コンパクト性の性質が失われる。これは、この最小化問題において、$H^{1/2}$-構造全体の必要性を強調する。
• $\rho$ が小さいとき、比 $I^{\alpha,\beta}(\rho)/\rho$ は厳密に単調減少であり、最小化子が臨界値 $\rho_0$ に存在すると仮定すると背理が導かれる。これにより、$\rho$ が小さいとき $I^{\alpha,\beta}(\rho) > -\infty$ であることが証明される。