[論文レビュー] Ground states in the Many Interacting Worlds approach

Hannes Herrmann, Michael J. W. Hall+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Spectroscopy and Laser Applications参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、波動関数を用いずに1次元および2次元空間において基底状態と励起状態を計算するため、Many-Interacting-Worlds (MIW) アプローチを拡張する。波動関数を必要としない、グリッドフリーなシュレーディンガー方程式の数値的統合を可能にする、相互作用する粒子の世界に基づく数値フレームワークを導入し、高次元量子系への適用可能性を示している。

ABSTRACT

Recently the Many-Interacting-Worlds (MIW) approach to a quantum theory without wave functions was proposed. This approach leads quite naturally to numerical integrators of the Schr\odinger equation. It has been suggested that such integrators may feature advantages over fixed-grid methods for higher numbers of degrees of freedom. However, as yet, little is known about concrete MIW models for more than one spatial dimension and/or more than one particle. In this work we develop the MIW approach further to treat arbitrary degrees of freedom, and provide a systematic study of a corresponding numerical implementation for computing one-particle ground and excited states in one dimension, and ground states in two spatial dimensions. With this step towards the treatment of higher degrees of freedom we hope to stimulate their further study.

研究の動機と目的

• 1次元の単一粒子系にとどまらない、任意の自由度を扱えるように、Many-Interacting-Worlds (MIW) アプローチを拡張すること。
• 1次元量子系における基底状態と励起状態を計算するための体系的な数値実装を開発すること。
• 2次元量子系に初めてMIWフレームワークを適用可能かどうかを検討すること。
• 高次元設定において、固定グリッド法と比較してMIWに基づく統合手法がどのような利点を示すかを評価すること。
• 将来的な複雑な多体系量子系の研究を、MIW形式論に基づいて前もって準備すること。

提案手法

• 配置空間における複数の相互作用する世界をシミュレートすることで、MIW形式を数値的量子状態計算に適応させる。
• 量子ポテンシャルから導かれる世界間力に基づいて、古典的軌道（世界）の集合で量子系を表現する。
• エネルギー汎関数を最小化するように、世界を時間発展させる数値積分法を適用し、基底状態を求める。
• エネルギー期待値を最小化する最適な世界配置を決定するために変分原理を用いる。
• 世界間相互作用ポテンシャルを高次元配置空間に一般化することで、2次元空間への手法の拡張を実現する。
• 波動関数の明示的表現なしに、静的状態に収束する勾配ベースの最適化スキームを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MIWアプローチは、1次元量子系における基底状態と励起状態を体系的に計算可能か？
• RQ2 MIW法は、2次元量子系における基底状態の計算にどの程度有効か？
• RQ3 高次元空間におけるMIWに基づく統合手法の数値的安定性と収束特性はいかがなものか？
• RQ4 1自由度を越える系において、MIWに基づく手法が固定グリッド法を上回る計算効率を示せるか？
• RQ5 世界間力は、数値解の安定化と正確な基底状態計算を可能にする役割を果たしているか？

主な発見

• MIWアプローチは、波動関数に依存せずに1次元量子系における基底状態と励起状態を正確に計算できた。
• 1次元ポテンシャルにおいて、基底状態と励起状態の両方で、数値的安定性と収束性を示した。
• 2次元空間への拡張は実現可能であり、MIW形式を用いて2次元量子系の基底状態を計算可能となった。
• 相互作用する世界に基づく数値統合手法は、シュレーディンガー方程式を解くためのグリッドフリーな代替手法を提供した。
• 軌道に基づく非グリッド性の特徴から、高次元系においてMIWに基づく手法が優位性を示す可能性がある。
• 波動関数を一切用いないアプローチにより、高次元における複雑な多体系量子系の研究への道筋が開かれた。