[論文レビュー] Ground states of elliptic problems involving non homogeneous operators

Giovany M. Figueiredo, Humberto Ramos Quoirin|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般化されたネハリ多様体法を用いて、非斉次な作用素を有する楕円型問題における基底状態の存在を確立する。特に、汎関数の主要部が斉次でない場合でも、この手法が有効であることを示している。主な貢献は、変動型指数や非標準的成長を示す非斉次作用素を含む3つの境界値問題クラスに対して、少なくとも1つの非自明で非負の基底状態と無限組の解の存在を示した点にある。

ABSTRACT

We investigate the existence of ground states for functionals with nonhomogenous principal part. Roughly speaking, we show that the Nehari manifold method requires no homogeinity on the principal part of a functional. This result is motivated by some elliptic problems involving nonhomogeneous operators. As an application, we prove the existence of a ground state and infinitely many solutions for three classes of boundary value problems.

研究の動機と目的

• 非斉次な設定にまで拡張されたネハリ多様体法を、エネルギー汎関数が斉次でない場合にも適用可能にする。
• 変動型指数や非標準的成長を示す非斉次作用素を含む楕円型問題における基底状態の存在を確立する。
• p-ラプラシアン型や変動型指数作用素を含む非斉次作用素を有する問題に適用可能な統一的な変分的枠組みを提供する。
• 3つの境界値問題クラスに対して、少なくとも1つの非自明で非負の基底状態および無限組の解の存在を証明する。
• 古典的な変分的枠組みにおける基底状態の結果を、非斉次的かつ非正規の成長条件へと一般化する。

提案手法

• 本稿では、Banach空間 X 上の非斉次的で一様凸的かつ C¹ 級の汎関数 I₀ と、特定の漸近的および単調性特性を有する C¹ 級汎関数 I を用いて、Φ = I₀ - I という汎関数にネハリ多様体法を適用する。
• 汎関数 Φ が幾何的条件 (A2) および (A3) を満たすことを確立する：各 w ∈ S（単位球面）に対して、写像 t ↦ Φ(tw) は t_w > 0 で一意的な最大値を持ち、t_w は0から一様に離れており、コンパクト集合上で有界である。
• この手法は、ネハリ多様体 𝒩 が X \ {0} 内の C¹ の部分多様体であることを証明し、Φ を 𝒩 上で最小化することで Φ の臨界点が得られることに依拠する。
• 弱下界半連続性とその導関数の性質、および D₀¹,𝐩(Ω) ↪ Lσ(Ω)（σ ∈ [1, p*)）のコンパクト埋め込みを用いて、パライス＝スモールの列における収束議論を可能にする。
• 一般化されたピカール型不等式を適用し、汎関数 I₀ が I₀(tu) ≥ C t^{p₁} ||u||^{p_N}（t > 1 かつ ||u|| ≤ 1）という同次性に類似した下界を満たすことに着目する。
• s ↦ I′(su)/s^{p-1} の単調性と、弱コンパクト集合上で I(su)/s^p → ∞（s → ∞）の一様収束性を用いて、ネハリ多様体上での最小化に必要な幾何的性質を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー汎関数が斉次でない場合でも、ネハリ多様体法を非斉次な主要部を有する汎関数へと拡張することは可能か？
• RQ2 変動型指数 p(x)-ラプラシアンや非標準的成長作用素を含む非斉次作用素を有する楕円型問題において、基底状態解の存在は保たれるか？
• RQ3 汎関数 I₀ および非線形項 f にどのような条件下で、Φ = I₀ - I がネハリ多様体上で最小化され、臨界点が得られるか？
• RQ4 汎関数が偶関数である場合、斉次性が欠如している状況でも、無限個の解の存在を証明するためにこの手法を適用可能か？
• RQ5 非線形項 f および作用素 I₀ にどのような構造的仮定が、ネハリ多様体法に必要な幾何的性質 (A2) および (A3) を満たすために十分か？

主な発見

• 非斉次汎関数に対してもネハリ多様体法が拡張可能であり、汎関数の主要部が正の斉次でない場合でも基底状態が存在することを証明した。
• Ω 内で −div(A(|∇u|^{p−2})∇u) = f(u) を満たし、u ∈ W₀¹,p(Ω) である問題に対して、f に関する適切な成長および単調性条件のもとで、非自明で非負の基底状態解が存在する。
• 汎関数が偶関数である場合、ネハリ多様体上での対称的マウンテンパス定理の適用により、無限組の解の存在が確立された。
• I₀ が非斉次であっても、I₀(tu) ≥ C t^{p₁} ||u||^{p_N}（t > 1 かつ ||u|| ≤ 1）という形の下界を満たせば、汎関数 Φ は幾何的条件 (A2) および (A3) を満たす。
• 本稿では、ネハリ多様体が C¹ の部分多様体であり、Φ を 𝒩 上で最小化することで臨界点が得られ、それが基底状態解であることを証明した。
• 弱下界半連続性と一般化されたピカール不等式を用いて、パライス＝スモール列の収束性を確立し、エネルギー空間内での弱収束が強収束を意味することを保証した。