[論文レビュー] Group approximation in Cayley topology and coarse geometry, Part I: Coarse embeddings of amenable groups

Masato Mimura, Hiroki Sako|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限ケイリー図の粗い直積に関する性質Aの特徴づけを、ケイリ境界群の可約性に基づいて行う。ケイリ位相を用いたマーク付き群の空間上で、このような直積が性質Aを有するための必要十分条件は、ケイリ境界におけるすべての集積点（群）が可約群であることであることを証明する。これにより、バナッハ空間への粗い埋め込みを有する・持たない両方の具体例が構成される。

ABSTRACT

The objective of this series is to study metric geometric properties of (coarse) disjoint unions of amenable Cayley graphs. We employ the Cayley topology and observe connections between large scale structure of metric spaces and group properties of Cayley accumulation points. In this Part I, we prove that a disjoint union has property A of G. Yu if and only if all groups appearing as Cayley accumulation points in the space of marked groups are amenable. As an application, we construct two disjoint unions of finite special linear groups (and unimodular linear groups) with respect to two systems of generators that look similar such that one has property A and the other does not admit (fibred) coarse embeddings into any Banach space with non-trivial type (for instance, any uniformly convex Banach space).

研究の動機と目的

• 有限ケイリー図の直積の粗い幾何的性質とそのケイリ境界群の群論的性質との間の関係を確立すること。
• マーク付き群空間における集積点の可約性を用いて、このような直積が性質Aを満たす条件を特徴づけること。
• 局所構造が類似しているが、粗い埋め込み性において顕著に異なる、有限特殊線型群およびユニモジュラー群の直積の具体例を構成すること。
• バナッハ空間への粗い埋め込みの圧縮関数を分析すること、特に非自明な型をもつ空間について。
• ランク拡張子から生じる自然なグラフ族が、粗い埋め込みを許容しても、圧縮性が著しく悪いことを示すこと。

提案手法

• kマーク付き群の空間にケイリ位相を導入し、ケイリ図における根付き距離球の一致を用いて、有限群の列の収束を分析する。
• kマーク付き群の列の集積点の集合をケイリ境界と定義する（コンパクトなマーク付き群空間内）。
• 可約群空間の一様可約性および位相的性質を用いて、直積における性質Aを特徴づける。
• バナッハスペクトルギャップおよび(τ)-型定数に関する結果を応用し、粗い埋め込みの圧縮関数を評価する。
• 局所幾何が類似しているが、グローバルな粗い性質が異なる有限群の族（例：SL(n, F_p)およびユニモジュラー群）を明示的に構成する。
• スペクトルギャップの減衰および歪み推定を用いて、特定の圧縮関数が、すなわちユニフォーム凸バナッハ空間への粗い埋め込みに対しても実現不可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限ケイリー図の粗い直積が性質Aをもつのはいつか？
• RQ2 マーク付き群列のケイリ境界にあらわれる群論的条件は、非自明な型をもつバナッハ空間への粗い埋め込みを保証するか、あるいは妨げるか？
• RQ3 局所ケイリー図構造が類似した2つの有限群列が、顕著に異なる粗い幾何的性質をもつ直積をもたらすことは可能か？
• RQ4 このような直積のバナッハ空間への粗い埋め込みにおける最適圧縮関数は何か？ そして、スペクトルギャップの減衰とどのように関係するか？
• RQ5 ランク拡張子から生じる自然なグラフ族は、粗い埋め込みが可能であっても、圧縮性が著しく悪いものとなるか？

主な発見

• 有限ケイリー図の粗い直積が性質Aをもつための必要十分条件は、ケイリ境界に現れるすべての群（すなわち、ケイリ集積点）が可約群であることである。
• 本稿では、異なる生成系をもつ有限特殊線型群およびユニモジュラー群の2つの直積を構成する。一方は性質Aをもち、他方はいかなる非自明な型をもつバナッハ空間への（ファイブレッド）粗い埋め込みも持たない。
• 与えられた関数ρについて、ρ(r) ≍ (C′ log log r) ∨ 0 を満たす正の定数C′が存在するとき、ある列(n_m)が存在し、その直積において粗い埋め込み条件(ρ, ω(r) = r)が満たされない。これは、圧縮性が著しく悪いことを示唆する。
• 構成例におけるスペクトルギャップの減衰率から、(τ)-型定数に対する下界が得られる：𝒦^(τ)(G̃_m, E) ≥ 1/10000 m³ ε_E,p であり、これは圧縮関数を制御する。
• 例は明示的または準明示的である。係数環F_{p^{n_m}}をF_p[t]/(t^{n'_m} - t)に置き換えることで、完全に明示的なバージョンの構成が得られ、同じ粗い幾何的性質を保つ。
• 結果は、β < 1/2を満たすある(1.1)条件を満たす複素バナッハ空間に球面同値であるバナッハ空間へも拡張可能であり、これはすべての非自明な型をもつ空間を含む。