[論文レビュー] Group C*-algebras as compact quantum metric spaces

Marc A. Rieffel|ArXiv.org|May 17, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、ℤ^d の群 C*-代数に長さ関数（語長またはℝ^d 上のノルムの制限）を備えた場合、コンネスのディラック作用素の構成により、コンパクトな量子距離空間を定義することを確立している。コスフィア代数と、測度空間の新しい距離的コンパクト化を用いて、リプシッツ半ノルムが状態空間上で弱-*位相を誘導することを証明し、これらの群およびそのねじれ版（非可換トーラスを含む）に対してリプシッツノルム条件を確認した。

ABSTRACT

Let $\ell$ be a length function on a group $G$, and let $M_{\ell}$ denote the operator of pointwise multiplication by $\ell$ on $\bell^2(G)$. Following Connes, $M_{\ell}$ can be used as a ``Dirac'' operator for $C_r^*(G)$. It defines a Lipschitz seminorm on $C_r^*(G)$, which defines a metric on the state space of $C_r^*(G)$. We investigate whether the topology from this metric coincides with the weak-* topology (our definition of a ``compact quantum metric space''). We give an affirmative answer for $G = {\mathbb Z}^d$ when $\ell$ is a word-length, or the restriction to ${\mathbb Z}^d$ of a norm on ${\mathbb R}^d$. This works for $C_r^*(G)$ twisted by a 2-cocycle, and thus for non-commutative tori. Our approach involves Connes' cosphere algebra, and an interesting compactification of metric spaces which is closely related to geodesic rays.

研究の動機と目的

• 群 C*-代数の状態空間に、長さ関数からコンネスのディラック作用素によって誘導される距離が弱-*位相と一致するかを特定すること。
• 2-コサイクルの変形を用いて、ねじれ群 C*-代数、特に非可換トーラスを含む場合にこの解析を拡張すること。
• 測地線の放射とブースマン点に関連する「距離的コンパクト化」と呼ばれる、測度空間の新しいコンパクト化を考案・適用すること。
• 語長またはノルムに由来する長さ関数を備えたℤ^d に対して、リプシッツノルムの性質を確立し、距離位相が弱-*位相と一致することを保証すること。
• コスフィア代数の構造と、コンパクトな量子距離空間条件の検証におけるその役割を調査すること。

提案手法

• ℓ²(G) 上の長さ関数 ℓ による乗法作用素 Mℓ と πf の交換子 [Mℓ, πf] を用いて、Cr*(G) の稠密な*-部分代数 Cc(G) 上にリプシッツ半ノルム Lℓ を定義する。
• ρL(μ,ν) = sup{|μ(a)−ν(a)| : a ∈ Cc(G), Lℓ(a) ≤ 1} により、状態空間 S(Cr*(G)) 上の距離 ρL を構成する。
• 局所コンパクトな測度空間の「距離的コンパクト化」を導入し、グロモフの構成を一般化して、境界の挙動と測地線の放射を分析する。
• G が距離的コンパクト化およびその境界に作用することを用い、有限軌道とアメニタリティを研究し、コスフィア代数と関連付ける。
• スティーブンソン＝ヴァイエルシュトラウスの定理を適用し、距離的コンパクト化上の連続関数の代数が群代数の閉包に一致することを示し、コンパクト化がうまく定義されていることを示す。
• コスフィア代数 Sℓ* A が F2 に対して C*(G, C(∂hG), α) に同型であることを確認し、スペクトル三重項の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ関数からディラック作用素を介して誘導される、Cr*(ℤ^d) の状態空間上の距離が、弱-*位相と一致するか？
• RQ2 非可換トーラスを含む、ℤ^d のねじれ群 C*-代数に対し、リプシッツノルム条件を検証できるか？
• RQ3 測度空間の距離的コンパクト化は、測地線の放射およびブースマン点とどのように関係するか？
• RQ4 コスフィア代数は、群 C*-代数の距離的構造を特徴付けるために果たす役割は何か？
• RQ5 G が距離的コンパクト化の境界に作用する際に、有限軌道が得られる条件は何か？その有限軌道がリプシッツノルムの性質の確認にどのように寄与するか？

主な発見

• 語長関数またはℝ^d 上のノルムの制限を備えたℤ^d に対して、[Mℓ, πf] によって定義される半ノルム Lℓ はリプシッツノルムであるため、状態空間上の距離位相は弱-*位相と一致する。
• このような長さ関数を備えたℤ^d の距離的コンパクト化は、双曲的コンパクト化と一致し、境界は測地線の放射に対応するブースマン点からなる。
• スペクトル三重項 (Cr*(ℤ^d), ℓ²(ℤ^d), Mℓ) のコスフィア代数は、C*(ℤ^d, C(∂hℤ^d), α) に同型であり、境界への作用はアメニタリティを満たす。
• 任意の2-コサイクル c に対して、ねじれ群 C*-代数 Cr*(ℤ^d, c) に対してもこの構成が拡張可能であり、非可換トーラスを含む場合にもリプシッツノルムの性質が成り立つ。
• 証明の根幹は、距離的コンパクト化上の連続関数の代数 C(Ḡ^ℓ) が C(Ḡ^h) に一致することを示すことであり、コンパクト化が位相的にうまく定義されており、境界が十分に点を分離できることを示している。
• 自由群 F2 に対しては、境界作用に有限軌道が存在しないため、この方法ではリプシッツノルムの性質を示せず、自由群の場合のリプシッツノルム性は未解決のまま残っている。