[論文レビュー] Metrics on states from actions of compact groups

Marc A. Rieffel|ArXiv.org|Jul 16, 1998

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 157

ひとこと要約

この論文は、コンpakto Lie群のエルゴディック作用から得られるディラック作用素またはそのリー代数上の関連ノルムを用いて、単位的C*-代数の状態空間に導かれる計量が、弱-*位相と同一の位相を誘導することを確立する。主な貢献は、このような作用から得られるディラック作用素によって誘導される計量位相が、状態空間上で標準的な弱-*位相と一致することを証明することであり、非可換幾何学のコンネスの計量枠組みを群論的設定へ一般化する。

ABSTRACT

Let a compact Lie group act ergodically on a unital $C^*$-algebra $A$. We consider several ways of using this structure to define metrics on the state space of $A$. These ways involve length functions, norms on the Lie algebra, and Dirac operators. The main thrust is to verify that the corresponding metric topologies on the state space agree with the weak-$*$ topology.

研究の動機と目的

• 群作用から導かれるC*-代数の状態空間上の計量が弱-*位相を誘導する条件を確立すること。
• コンネスの非可換計量枠組みを、コンパクトLie群のエルゴディック作用をもつC*-代数へ拡張すること。
• リー代数上のノルムまたは群上の長さ関数を用いて定義される計量が、弱-*位相と同値な位相を誘導することを示すこと。
• そのような作用に関連するディラック作用素から得られる計量位相が、弱-*位相と一致することを検証すること。

提案手法

• 滑らか部分代数 A^∞ に属する a に対して、[D, a] の作用素ノルムを用いてリプシッツ半ノルムを定義する。
• S をスピン表現モジュールとして、A^∞ ⊗ S のヒルベルト空間完備化上に、リー代数作用とクリフォード代数への表現を用いてディラック作用素 D を構成する。
• 双対リー代数の正規直交基底を用いて、D を群作用とクリフォード乗法を含む作用素の和として表現する。
• ディラック作用素によって誘導される半ノルム L(a) = ||[D, λ_a]|| とリー代数作用からのノルム ||da|| の間の比較を確立し、上界および下界を証明する。
• 比較補題と位相的議論を用いて、L によって誘導される計量位相が弱-*位相と一致することを示す。
• 得られた計量が状態空間上で有限かつ適切に定義されており、生成する位相が標準的な弱-*位相と一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数にエルゴディックなコンパクトLie群作用が与えられたとき、そのディラック作用素によって誘導される計量位相は弱-*位相と一致するか？
• RQ2 コンパクト群のリー代数上のノルムからC*-代数の状態空間に計量を構成でき、それが弱-*位相を誘導するか？
• RQ3 コンパクト群上の長さ関数は、C*-代数の状態空間における計量とどのように関係するか？
• RQ4 ディラック作用素を用いて定義されるリプシッツ半ノルムと、群作用の内在的幾何学的性質との関係は何か？

主な発見

• 単位的C*-代数の状態空間に、エルゴディックなコンパクトLie群作用が与えられたとき、ディラック作用素によって誘導される計量位相は弱-*位相と一致する。
• リー代数からのノルム ||da|| に対して、半ノルム L(a) = ||[D, a]|| の下界が確立され、位相的同値性が保証される。
• 比較補題により、リー代数ノルムからの位相的制御をディラック作用素によって誘導される計量へ移すことができる。
• 双対リー代数上の任意の内積に対してこの結果が成り立つため、構成の堅牢性が示される。
• この構成は、非可換トーラスに対しても適用可能であり、それらがエルゴディックなトーラス作用を持つことから、弦理論の文脈とも関連する。