[論文レビュー] Group C*-algebras, metrics and an operator theoretic inequality

Cristina Antonescu, Erik Christensen|ArXiv.org|Nov 20, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、自由非アーベル群の縮小C*-代数の状態空間におけるコネス計量が有界であることを示しており、完全有界ノルムに関するシュール乗算子の推定と自由群論の技法を用いる。さらに、高次交換子を用いた緩和された計量構成を導入し、w*-位相を生成するとともに、急速減少群に対して有界性を保証する。これは元の計量定義のより強固な代替手段を提供する。

ABSTRACT

On a discrete group G a length function may implement a spectral triple on the reduced group C*-algebra. Following A. Connes, the Dirac operator of the triple then can induce a metric on the state space of reduced group C*-algebra. Recent studies by M. Rieffel raise several questions with respect to such a metric on the state space. Here it is proven that for a free non Abelian group, the metric on the state space is bounded. Further we propose a relaxation in the way a length function is used in the construction of a metric, and we show that for groups of rapid decay there are many metrics related to a length function which all have all the expected properties. The boundedness result for free groups is based on an estimate of the completely bounded norm of a certain Schur multiplier and on some techniques concerning free groups due to U. Haagerup. At the end we have included a noncommutative version of the Arzela-Ascoli Theorem.

研究の動機と目的

• 自由非アーベル群の縮小C*-代数の状態空間におけるコネス計量が有界であるかどうかを特定すること。
• コネス計量が状態空間上でw*-位相を生成するかどうかを調査すること。
• 高次交換子 $[D, [D, \dots, [D, a] \dots ]]$ を用いた修正された計量構成を提案し、急速減少群に対して望ましい位相的および有界性の性質を保つこと。
• 古典的定理の非可換類似物に触発され、状態空間上の計量とC*-代数の預compact部分集合との関係を探索すること。

提案手法

• 群上の長さ関数によって定義されるディラック作用素を用いて、縮小群C*-代数上にスペクトル三重項を構成する。
• コネスの公式を適用し、ディラック作用素との交換子のノルムを用いて状態空間上に計量を定義する。
• 自由群に対して有界性を証明するための主要な技術的道具として、特定のシュール乗算子の完全有界ノルムに関する推定を用いる。
• ディラック作用素との $k$ 重交換子を用いて定義される一般化された計量 $ d_{k, ho} $ を導入し、元の構成を緩和する。
• 関数解析的技法、特に双極定理と凸包の議論を用いて、C*-代数における預compact性と状態汎関数の等連続性を関係付ける。
• 固定されたコンパクトな凸バランス集合を用いた近似を特徴づけることで、ノルムの預compact性を記述する非可換アーベル・アスcoliの定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由非アーベル群の縮小C*-代数の状態空間におけるコネス計量 $ d_{ ho} $ は有界か？
• RQ2 コネス計量 $ d_{ ho} $ は $ C_r^*(G) $ の状態空間上でw*-位相を生成するか？
• RQ3 高次交換子 $[D, [D, \dots, [D, a] \dots ]]$ を用いた修正された計量構成は、急速減少群に対して、有界かつw*-位相を生成する計量をもたらすか？
• RQ4 C*-代数の預compact部分集合と、w*-位相を生成する状態空間上の計量との関係は何か？

主な発見

• 自由非アーベル群の縮小C*-代数の状態空間におけるコネス計量 $ d_{ ho} $ は有界である。
• この有界性の結果は、ハーガープによる自由群論的技法を用いて導かれた、特定のシュール乗算子の完全有界ノルムに関する新しい推定に依存している。
• 長さ関数 $ \ell $ に関して急速減少群に対しては、$k$ 重交換子を用いて定義される一般化された計量 $ d_{k,\ell} $ は有界であり、w*-位相を生成する。
• 本稿では、ノルムの預compact性を固定されたコンパクトな凸バランス集合を用いた近似によって特徴づける非可換アーベル・アスリの定理を提供する：部分集合 $ \mathcal{H} \subset \mathcal{A} $ がノルムの預compactであるための必要十分条件は、任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して $ \mathcal{H} \subseteq \mathcal{A}_{\varepsilon} + N\mathcal{K} + \mathbb{C}I $ を満たす、あるノルムコンパクトな凸バランス集合 $ \mathcal{K} \subset \mathcal{A} $ が存在することである。
• 双極定理と極集合の技法を用いて、$ \mathcal{H} $ のノルムの預compact性と関連する汎関数 $ \widehat{\mathcal{H}} $ の等連続性との同値性が確立された。