[論文レビュー] Group cocycles and the ring of affiliated operators

Jesse Peterson, Andreas Thom|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ℓ²G valued の群 1-コホモロジーと、関連する作用素環 𝒰G の関係を調査し、可解群では、すべてのこのようなコホモロジーが有界または正規であることを確立する。主な貢献は、弱いアティヤ予想の条件下で、第一の ℓ²-Betti 数が非ゼロであるならば、捩れのない群において自由部分群が存在することを示したことであり、正の ℓ²-Betti 数を持つ正規および s-正規部分群に関する結果を拡張している。

ABSTRACT

In this article we study cocycles of discrete countable groups with values in l^2(G) and the ring of affiliated operators UG. We clarify properties of the first cohomology of a group G with coefficients in l^2(G) and answer several questions from [CTV]. Moreover, we obtain strong results about the existence of free subgroups and the subgroup structure, provided the group has a positive first l^2-Betti number. We give numerous applications and examples of groups which satisfy our assumptions.

研究の動機と目的

• 第一のコホモロジー群 H¹(G; ℓ²G) の構造と、作用素環 𝒰G との関係を明確化すること。
• [ctv] における離散可算群における ℓ²-コホモロジーとコホモロジーの振る舞いに関する未解決問題に取り組むこと。
• 正の第一 ℓ²-Betti 数を持つ群が自由部分群を含む条件を確立すること、特に捩れのない状況において。
• Karrass–Solitar や Baumslag などの古典的定理を一般化し、ℓ²-Betti 数に関して正規および s-正規部分群に関する結果を拡張すること。
• ℓ² 不変量を統一的ツールとして用い、極限群、べき吸収的部分群、自由群と測度同値な群への応用を探索すること。

提案手法

• c: G → ℓ²G を満たす 1-コホモロジー c(gh) = g·c(h) + c(g) を分析し、内コホモロジー (c(g) = (g−1)ξ) と一般のコホモロジーを区別する。
• LG ⊂ ℓ²G ⊂ 𝒰G の包含系列を用いて、異なるモジュールにおけるコホモロジーを関連付け、Z¹(G; ℓ²G) から Z¹(G; 𝒰G) への写像を研究する。
• 特に、H¹(G; ℓ²G) のフォン・ノイマン次元として定義される第一の ℓ²-Betti 数 β₁⁽²⁾(G) を用いる ℓ² 不変量の理論を適用する。
• 部分群 H ⊂ G に対する s-正規性および wq-正規性の概念を用いる。ここで、すべての g ∈ G に対して H ∩ H^g が無限大である。
• 群の拡大や部分群の交差において ℓ²-Betti 数が適切に振る舞うように保証するため、弱いアティヤ予想の条件を用いる。
• Gaboriau らの測度同値性および極限群に関する結果を応用し、主定理の適用範囲をより広い群のクラスに拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可解な離散可算群において、H¹(G; ℓ²G) がいつ自明になるか。これは、関連するベクトル ξ が ℓ²G に属するかどうかに依存する有界性または正規性のコホモロジーとどのように関係するか。
• RQ2 非ゼロの第一 ℓ²-Betti 数が、捩れのない群において自由部分群の存在を示す条件は何か。
• RQ3 環境群 G が正の β₁⁽²⁾(G) を持つとき、s-正規または wq-正規部分群 H はどのように振る舞うか。
• RQ4 共役による無限大の交わりを持つ部分群において、ℓ²-Betti 数が指数の有限性を検出できるか。
• RQ5 作用素環 𝒰G は、群コホモロジーおよび部分群成長の構造をどのように制御するか。

主な発見

• 可解な離散可算群では、ℓ²G に値をとるすべての 1-コホモロジーは、関連するベクトル ξ が ℓ²G に属するかどうかに応じて、有界または正規である。
• 弱いアティヤ予想の下で、第一の ℓ²-Betti 数 β₁⁽²⁾(G) > 0 ならば、捩れのない群において自由部分群が存在する。
• G が捩れのない群で β₁⁽²⁾(G) > 0 ならば、G は G = {e} ∪ ⨆ᵢ Gᵢ という分割を持つ。ここで各 Gᵢ は mal-正規であり、β₁⁽²⁾(Gᵢ) = 0 である。
• s-正規または wq-正規部分群 H ⊂ G に対して、β₁⁽²⁾(G) > 0 ならば、H はその共役の生成する群における有限指数をもつ、またはその可換化における有限指数をもつ。
• 群 G = ⟨g₁,…,gₙ | r₁^{w₁},…,rₖ^{wₖ}⟩ が冗長でない表示を持つとき、不等式 β₁⁽²⁾(G) ≥ n−1 − ∑ⱼ 1/wⱼ が成り立ち、多くの捩れ群に対して下界を与える。
• 自由群と測度同値な群において、H が有限生成部分群で共役の共通化が無限大であるならば、その共通化は可解であるか、または H はその共通化において有限指数をもつ。