[論文レビュー] Groupoid extensions, principal 2-group bundles and characteristic classes

Grégory Ginot, Mathieu Stiénon|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リー群コホモロジー上の主2群 $[G \to \mathrm{Aut}(G)]$-バンドルのモラータ同値類とリー群コホモロジーの $G$-拡張の間の1対1対応を確立し、これらを微分可能スタック上の $G$-gerbesに同定する。また、群コホモロジー的データに基づく普遍的特徴類とディクシエール＝ドゥアディ類を導入し、それらが一致し、整数的であることを証明する。これは接続に基づく不変量の一般化である。

ABSTRACT

Let $G$ be a Lie group and $G o\Aut(G)$ be the canonical group homomorphism induced by the adjoint action of a group on itself. We give an explicit description of a 1-1 correspondence between Morita equivalence classes of, on the one hand, principal 2-group $[G o\Aut(G)]$-bundles over Lie groupoids and, on the other hand, $G$-extensions of Lie groupoids (i.e. between principal $[G o\Aut(G)]$-bundles over differentiable stacks and $G$-gerbes over differentiable stacks). This approach also allows us to identify $G$-bound gerbes and $[Z(G) o 1]$-group bundles over differentiable stacks, where $Z(G)$ is the center of $G$. We also introduce universal characteristic classes for 2-group bundles. For groupoid central $G$-extensions, we introduce Dixmier--Douady classes that can be computed from connection-type data generalizing the ones for bundle gerbes. We prove that these classes coincide with universal characteristic classes. As a corollary, we obtain further that Dixmier--Douady classes are integral.

研究の動機と目的

• リー群コホモロジー上の主 $[G \to \mathrm{Aut}(G)]$-バンドルのモラータ同値類とリー群コホモロジーの $G$-拡張の間の1対1対応を確立すること。
• 微分可能スタック上の $G$-gerbes を、$Z(G)$ が $G$ の中心である $[Z(G) \to 1]$-群バンドルに同定すること。
• 2群バンドルのための普遍的特徴類を導入し、その特徴を明らかにすること。
• 接続型データを用いて、リー群コホモロジーの中心的 $G$-拡張のディクシエール＝ドゥアディ類を定義すること。
• これらのディクシエール＝ドゥアディ類が普遍的特徴類と一致し、整数的であることを証明すること。

提案手法

• アドジョイント作用によって誘導される自然な準同型 $G \to \mathrm{Aut}(G)$ を用いて、2群 $[G \to \mathrm{Aut}(G)]$ を定義する。
• モラータ同値を用いて、リー群コホモロジー上の主2群バンドルを分類し、それらを $G$-拡張に関連付ける。
• 中心的 $G$-拡張上の接続型データを用いた幾何的構成により、特徴類を導入する。
• 群コホモロジー的技法を用いて、微分可能スタック上の $G$-gerbes と $[Z(G) \to 1]$-群バンドルの間の対応を確立する。
• コhomオロジー的技法を用いて、2群バンドルの不変量として普遍的特徴類を導出する。
• 接続データからの明示的計算を通じて、ディクシエール＝ドゥアディ類と普遍的特徴類の一致を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群コホモロジー上の主2群 $[G \to \mathrm{Aut}(G)]$-バンドルは、モラータ同値に関してどのように分類可能か？
• RQ2 微分可能スタック上の $G$-gerbes と $[Z(G) \to 1]$-群バンドルの間の明確な関係は何か？
• RQ3 2群バンドルに対して普遍的特徴類を明示的に構成可能か？また、幾何的不変量とはどのように関係するか？
• RQ4 接続型データを用いて、リー群コホモロジーの中心的 $G$-拡張に対するディクシエール＝ドゥアディ類をどのように一般化できるか？
• RQ5 得られるディクシエール＝ドゥアディ類は整数的か？また、普遍的特徴類と一致するか？

主な発見

• リー群コホモロジー上の主 $[G \to \mathrm{Aut}(G)]$-バンドルのモラータ同値類とリー群コホモロジーの $G$-拡張の間の1対1対応が確立された。
• 本稿は、$Z(G)$ が $G$ の中心であるとき、$G$-gerbes を微分可能スタック上の $[Z(G) \to 1]$-群バンドルに同定した。
• 2群バンドルの普遍的特徴類が導入され、幾何的データを用いて計算可能であることが示された。
• 中心的 $G$-拡張のディクシエール＝ドゥアディ類は接続型データを用いて定義され、普遍的特徴類と一致することが証明された。
• 得られるディクシエール＝ドゥアディ類は整数的であり、その位相的意義が裏付けられた。
• 幾何的特徴類と普遍的特徴類の一致は、2群バンドル不変量のコhomオロジー的特徴付けを提供する。