[論文レビュー] Groupoid Models of $C^*$-algebras and Gelfand Duality

Kyle Austin, Atish Mitra|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、群コホーシブを用いた$C^*$-代数の関手的枠組みを導入し、部分的準同型を伴う群コホーシブの圏から$C^*$-代数への反変関手$\Gamma_{\text{max}}$および$\Gamma_{\text{min}}$を構成する。この枠組みは、Gelfand双対性を拡張し、有限和および逆極限を保存することを示し、分類理論に依存せずに、Jiang-Su代数$\mathcal{Z}$およびRazak-Jacelon代数$\mathcal{W}$の明示的な群コホーシブモデルを構築する。

ABSTRACT

We construct a large class of morphisms, which we call partial morphisms, of groupoids that induce $*$-morphisms of maximal and minimal groupoid $C^*$-algebras. We show that the association of a groupoid to its maximal (minimal) groupoid $C^*$-algebra and the association of a partial morphism to its induced morphism are functors (both of which extend the Gelfand functor). We show how to geometrically visualize lots of $*$-morphisms between groupoid $C^*$-algebras. As an application, we construct a groupoid models of the entire inductive systems of the Jiang-Su algebra $\mathcal{Z}$ and the Razak-Jacelon algebra $\mathcal{W}$.

研究の動機と目的

• 群コホーシブによる$C^*$-代数の体系的かつ関手的アプローチを発展させ、古典的Gelfand双対性を拡張すること。
• 最大および最小の群コホーシブ$C^*$-代数上の$*$-準同型を誘導する部分的準同型としての群コホーシブの部分的準同型を定義し、それらを研究すること。
• $\Gamma_{\text{max}}$および$\Gamma_{\text{min}}$の割り当てが、有限和を保存し、逆極限を直接極限に写す関手であることを示すこと。
• 部分的準同型を通じて、群コホーシブ$C^*$-代数間の$*$-準同型を幾何的に可視化すること。
• 分類理論に依存せずに、Jiang-Su代数$\mathcal{Z}$およびRazak-Jacelon代数$\mathcal{W}$の明示的な群コホーシブモデルを、群コホーシブの逆系を用いて構築すること。

提案手法

• 局所コンパクトな群コホーシブとハール系を備えた圏$\mathcal{G}$を導入し、ハール系を保存する部分的準同型としての準同型を定義する。
• $\mathcal{G}$から$C^*$-代数と$*$-準同型の圏への2つの反変関手$\Gamma_{\text{max}}$および$\Gamma_{\text{min}}$を定義する。
• $\Gamma_{\text{max}}$および$\Gamma_{\text{min}}$が古典的Gelfand双対性関手を拡張し、局所コンパクトハウスドルフ空間と部分的正規連続写像の圏と、可換$C^*$-代数の圏との間で同値であることを証明する。
• 関手を用いて、$\Gamma_{\text{min}}$または$\Gamma_{\text{max}}$による像が、元々の$\mathcal{Z}$および$\mathcal{W}$の構成で用いられた帰納的系を再現する群コホーシブの逆系列を構成する。
• これらの群コホーシブ系列の逆極限を用いて、$\mathcal{Z}$および$\mathcal{W}$の群コホーシブモデルを生成し、得られた$C^*$-代数が目的の代数と同型であることを示す。
• 2-コホホーシブを用いたねじれ付き群コホーシブ$C^*$-代数への一般化により、より広範な$C^*$-代数のクラスへの適用可能性を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群コホーシブを用いた$C^*$-代数のモデリングのための関手的かつ幾何的枠組みを、Gelfand双対性を拡張して開発できるか？
• RQ2 群コホーシブの部分的準同型は、それらの最大および最小の$C^*$-代数上にどのように$*$-準同型を誘導するか？
• RQ3 分類理論に依存せずに、群コホーシブ系の逆極限が$\mathcal{Z}$および$\mathcal{W}$の構成で用いられた帰納的系をモデル化できるか？
• RQ4 $\Gamma_{\text{max}}$および$\Gamma_{\text{min}}$関手が、有限和や逆極限などのカテゴリカル構造をどの程度保存するか？
• RQ5 Jiang-Su代数$\mathcal{Z}$およびRazak-Jacelon代数$\mathcal{W}$は、この枠組みを用いて群コホーシブ$C^*$-代数として実現可能か？

主な発見

• $\Gamma_{\text{max}}$および$\Gamma_{\text{min}}$が、部分的準同型を伴う群コホーシブの圏から、$*$-準同型を伴う$C^*$-代数の圏への反変関手であることが示された。
• 両関手は有限和を保存し、群コホーシブ圏における逆極限を$C^*$-代数圏における直接極限に写す。
• $\Gamma_{\text{max}}$および$\Gamma_{\text{min}}$は古典的Gelfand双対性を拡張し、全射的かつ本質的に全射的であり、局所コンパクトハウスドルフ空間と部分的正規連続写像の圏と、可換$C^*$-代数の圏との間で同値を構成する。
• 逆極限の像が、元々のJiang-Su代数$\mathcal{Z}$の構成で用いられた帰納的系を再現する群コホーシブの逆系が構成された。
• 同様に、Razak-Jacelon代数$\mathcal{W}$に対しても逆系が構成され、群コホーシブ系の逆極限が$\mathcal{W}$の群コホーシブモデルを生成した。
• 逆極限から得られた$C^*$-代数は、それぞれ$\mathcal{Z}$および$\mathcal{W}$と同型であり、分類理論を用いない明示的な群コホーシブモデルが得られた。