[論文レビュー] Groupoids, root systems and weak order II

Matthew Dyer|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2011

Advanced Algebra and Logic参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コックスター群、ルート系、弱順序を一般化する抽象的構造であるルートイドおよびプロトルートイドの理論を、群ガロアと生成元、グラフ、ブール環、方向付きマトロイドといった多様な数学的対象からプロトルートイドを構成することによって拡張する。モルフィズム、スクエア、および高次元の立方体的構造に関する基礎的結果を確立し、関手ルートイドおよび対称的立方体的 $\omega$-ルートイドが自然に生じることを示しており、有限コックスター系ですら非自明な例が存在することを示している。

ABSTRACT

This is the second introductory paper concerning structures called rootoids and protorootoids, the definition of which is abstracted from formal properties of Coxeter groups with their root systems and weak orders. The ubiquity of protorootoids is shown by attaching them to structures such as groupoids with generators, to simple graphs, to subsets of Boolean rings, to possibly infinite oriented matroids, and to groupoids with a specified preorder on each set of morphisms with fixed codomain; in each case, the condition that the structure give rise to a rootoid defines an interesting subclass of these structures. The paper also gives non-trivial examples of morphisms of rootoids and describes (without proof, and partly informally) some main ideas, results and questions from subsequent papers of the series, including the basic facts about principal rootoids and functor rootoids which together provide the raison d'être for these papers.

研究の動機と目的

• コックスター群の代数的および順序論的構造を、ルートイドおよびプロトルートイドのより広い枠組みへ一般化すること。
• 群ガロアと生成元集合、単純グラフ、ブール環の部分集合、無限方向付きマトロイドといった多様な数学的対象からプロトルートイドを構成することで、その普遍性を示すこと。
• ルートイドの文脈において $n$-キューブおよび立方体的 $\omega$-群ガロアを導入することにより、高次カテゴリカル構造の基盤を築くこと。
• 特に AOP（抽象直交性性質）を介して、ルートイドのモルフィズムに関する基礎的結果を確立し、それらが前主成分性や braid 関係といった主要な構造的性質を示すこと。
• 反射順序および正規ルートイドに関する予想を動機として、プロトルートイドの完成および反映的部分カテゴリ理論の開発を開始すること。

提案手法

• 単位元を除き逆元について閉じた生成集合 $S$ を持つ群ガロア $G$ からプロトルートイドを構成し、コックスター群の標準的ルート系構成を一般化する。
• 関連するプロトルートイドがルートイドであるような $(G,S)$ を $C_2$-システムと呼び、braid 表現および符号文字により特徴付ける。
• プロトルートイド ${\mathscr{R}} = (G, \Lambda, N)$ におけるスクエアを、$xy = zw$、$x(N(y)) = N(z)$、$N(x)N(z) = 0$ を満たすモルフィズム $x,y,z,w$ からなる可換図式として定義し、隣接するモルフィズム間の直交性条件を課す。
• 忠実なプロトルートイドにおいて、スクエアは任意の二つの隣接する辺によって一意に決定されることを示すリジディティ性質を確立する。
• プロトルートイドから群ガロア順序への忘却函手 $\mathfrak{P}$ に対する左随伴 $\mathfrak{Q}$ を導入し、プロトルートイド的群ガロア順序の全部分カテゴリが反映的であることを示す。
• ルートイド ${\mathscr{R}}$ から対称的立方体的 $\omega$-ルートイド ${\mathscr{R}}^\omega$ を構成し、$n$-キューブは $n$ 個の自然な合成を持つ立方体的集合を形成し、各 $n$-合成群ガロアはルートイド構造を引き継ぐ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの群ガロアと生成元集合が $C_2$-システムを生じるか。また、それらの braid 関係および符号文字は、短縮された主ルートイドとどのように関係するか。
• RQ2 グラフ、ブール環の部分集合、または方向付きマトロイドから構成されたプロトルートイドがどの程度ルートイドを生じるか。また、これらの構造クラスがどのような構造的性質を持つのか。
• RQ3 カバーイングルートイドおよびカバーイング商ルートイドの概念は、普遍的構成から得られる単連結ルートイドの商として、連結ルートイドをどのように記述可能にするか。
• RQ4 AOP（抽象直交性性質）は、図形自己同型群 $G$ によるコックスター群 $W$ の固定点群 $W^G$ が再びコックスター群であることを示す際に果たす役割は何か。
• RQ5 関手ルートイドおよび立方体的 $\omega$-ルートイドの理論は、$1$-コサイクル条件を超える高次コサイクルを含めるように拡張可能か。また、高次カテゴリ理論に与える影響は何か。

主な発見

• 有限二面体群において、ルート系の $R$-安定部分集合の数は 26 であり、群の位数（24）を上回ることから、関手ルートイド理論の非自明性が示された。
• $N$ はコックスター系 $(W,S)$ の有限標準パラボリック部分群のランクの上限として定義され、この値は関連するルートイド ${\mathscr{C}}_{(W,S)}$ における非自明な $n$-キューブが存在する最大の $n$ に等しい。
• $W$ から $\tensor*[_{a}]{{\mathscr{X}}}{}$ の $R$-安定部分集合への写像は、有限二面体群では全単射であるが、一般にはそうではない。これは、より大きな群において非自明な構造が存在することを示している。
• 対称的立方体的 $\omega$-ルートイド ${\mathscr{R}}^\omega$ は、自然にハイパーオクタヘドロン群 $B_n$ の作用を備えており、$n$-キューブの合成と整合的である。
• $n$-キューブはルートイド ${\mathscr{R}}$ において $n$ 個の自然な合成を持つ立方体的集合を形成し、$n$-キューブの $n$-合成群ガロアは接続のない立方体的 $\omega$-群ガロアを形成する。
• ルートイドの弱順序は完全直交ラティスの順序イデアルと同型であり、これはルートイドの完成が存在するならば直ちに導かれる結果である。