[論文レビュー] On rigidity of abstract root systems of Coxeter systems

Matthew Dyer|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、線形構造に依存しない組合せ論的枠組みを導入することで、コクセター群における抽象的ルート系の剛性を確立する。可約でないコクセター系（有限または無限ランク）に対して、ルート基底は符号を除いて局所的に共轭であることが示され、いくつかの例外的ケースを除いて、古典的なウェイル群や有限コクセター群に関する結果を、抽象的代数的および順序論的手段によりより広いクラスのルート系へと拡張する。

ABSTRACT

We introduce and study a combinatorially defined notion of root basis of a (real) root system of a possibly infinite Coxeter group. Known results on conjugacy up to sign of root bases of certain irreducible finite rank real root systems are extended to abstract root bases, to a larger class of real root systems, and, with a short list of (genuine) exceptions, to infinite rank irreducible Coxeter systems.

研究の動機と目的

• 有限ウェイル群のルート基底が群作用のもとで共轭であるという古典的結果を、無限および抽象的ルート系へ一般化すること。
• 実ベクトル空間の線形構造に依存しない、組合せ論的手段による抽象的ルート基底の定義と研究。
• 符号を除く共轭結果を、非整数の一般化カルタン行列から得られるルート系を含む、より広いクラスの実ルート系へと拡張すること。
• 局所的共轭が失敗する例外的ケースを特定・分類すること、特に無限ランク設定におけるものに注目すること。
• 抽象的ルート基底が、コクセター群のルート系における抽象的正系の単純ルートに正確に対応することを確立すること。

提案手法

• Φ に {±1} の作用と、反射構造を保つ写像 α ↦ sα: Φ → Sym(Φ) を備えた抽象的ルート系の概念を導入する。
• 閉じていて生成的かつ準正の部分集合として抽象的正系を定義し、単純ルートがルート基底を形成することを示す。
• γ = aα + bβ（a,b ≥ 0）という「中間性」の概念を用いて、Φ の閉じた部分集合を定義し、ルート系の閉包性と整合性を保証する。
• 族 (ωi)i∈I を用いてベクトル空間の辞書的全順序 ≤lex を導入し、反射順序および twisted Bruhat 前順序を W 上で定義する。
• 反射コサイクル N: G → P(T) を構成し、それを用いて twisted Bruhat 前順序 ≤A を定義し、適切な条件下でそれが部分順序であることを証明する。
• 順序論的議論と双対空間 V∨ を用いた双対性を用いて、ルート系の構造およびその対称性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コクセター群の抽象的ルート基底が、符号を除いていつ局所的に共轭になるか。
• RQ2 実ベクトル空間への参照なしに、ルート基底を純粋に組合せ論的にどのように特徴づけられるか。
• RQ3 抽象的ルート系とその背後にあるコクセター系 (W,S) 間の関係は何か、特に (W,S) と (W,S′) がコクセター系として同型でない場合に注目する。
• RQ4 どの無限ランクコクセター系が、符号を除く局所的 W-共轭性を満たさず、その例外的タイプは何か。
• RQ5 正定値形式の場合、異なる A や全順序の選択に対しても、twisted Bruhat 順序 ≤A は同型のまま保たれるか。

主な発見

• 任意の可約でないコクセター系 (W,S) に対して、2つの抽象的正系 Ψ+ と Ψ′+ は、(W,S) と (W,S′) がコクセター系として同型でない場合でも、有限ランクのパラボリック部分群に関して同型である。
• W-共轭性が符号を除いて成立しない唯一の例外は、一方が型 A∞ で他方が A∞,∞ である場合であり、これらは同型ではないが反射同型である。
• Φ の部分集合 Δ ⊆ Φ がルート基底であるための必要十分条件は、それが Φ のある抽象的正系の単純ルートの集合であることである。
• 有限ランク系では、符号共轭結果における共轭元 σ は常に W に属し、W が有限で ε = 1 のとき、σ と ε は一意に定まる。
• 正定値形式の場合、すべての twisted Bruhat 順序 ≤A は標準順序 ≤∅ と同型であり、同型の意味で唯一の順序型を持つ。
• 直交群における弱順序 ≤w は一般にラティスではない。全順序および基底の選択に応じて、複数の非同型な弱順序およびブルアート順序が生じ得る。