[論文レビュー] Groups acting acylindrically on hyperbolic spaces

Denis Osin|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 44被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、可縮的双曲的群およびその双曲的埋め込み部分群の理論をサーベイし、双曲的および相対的双曲的群論の主要な結果を一般化する。小サブスティチューション技法とこの文脈における群論的デーン・フィリングを用いることで、例えば、ちょうど2つの共役類しか持たないねじれ自由な群といった、特異な性質を持つ有限生成群の構成が可能であることを示している。

ABSTRACT

The goal of this article is to survey some recent developments in the study of groups acting on hyperbolic spaces. We focus on the class of acylindrically hyperbolic groups; it is broad enough to include many examples of interest, yet a significant part of the theory of hyperbolic and relatively hyperbolic groups can be generalized in this context. In particular, we discuss group theoretic Dehn filling and small cancellation theory in acylindrically hyperbolic groups. Many results discussed here rely on the new generalization of relative hyperbolicity based on the notion of a hyperbolically embedded subgroup.

研究の動機と目的

• 双曲的および相対的双曲的群論からの結果を、可縮的双曲的群のより広範な枠組みの中で統一・一般化すること。
• 双曲的埋め込み部分群を用いた、ターフォンの双曲的デーン・フィリングの群論的類似物を構築すること。
• 可縮的双曲的設定において小サブスティチューション技法を応用し、異常な構造的性質を持つ群の構成を行うこと。
• 有限生成群の可能な共役成長関数を特徴付け、任意の指数関数で上から押さえられる非減少関数が実現可能であることを示すこと。
• 長年の未解決問題、例えば、ちょうど2つの共役類しか持たない有限生成ねじれ自由群の存在を解決すること。

提案手法

• 群の作用が双曲的空間上でアクリル的に制御された安定化部分群を持つことによって定義される、可縮的双曲的群の概念を用いる。
• 相対的双曲的群における周辺部分群の一般化として、双曲的埋め込み部分群を用い、群の構造を制御する。
• 群論的デーン・フィリングを適用して、望ましい性質を持つ商群を構成し、3次元多様体トポロジーからの技法を拡張する。
• 相対的双曲的群における小サブスティチューション理論を用い、共役構造を保存または変更する埋め込みを反復的に構成する。
• 注入性と双曲的空間への非自明な作用を保証するために、適切に選ばれた関係式を用いたHNN拡大および商群の列を構成する。
• 共役類の漸近的成長分析を適用し、等価関係 ~ を用いて、群の自己同型写像による成長関数の比較を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じ有限位数の非自明な元がすべて共役であるような有限生成群に埋め込めるのはどの群か？
• RQ2 有限生成群の共役成長関数は、指数関数で上から押さえられる任意の非減少関数になり得るか？
• RQ3 ちょうど2つの共役類しか持たない有限生成ねじれ自由群は存在するか？
• RQ4 小サブスティチューション技法は、双曲的群を超えて、指定された共役構造を持つ群を構成するためにどの程度一般化可能か？
• RQ5 有限生成群における共役成長は、自己同型写像の下で不変であるか。特に、有限指数部分群に移行する際に不変であるか？

主な発見

• 任意の可算群は、同じ有限位数のすべての元が共役であり、かつ有限位数の集合が保存されるような有限生成群に埋め込める。
• ちょうど2つの共役類しか持たない有限生成ねじれ自由群が存在する。これはマルツェフに帰属する長年の未解決問題を解決する。
• 有限生成群の共役成長関数は、指数関数で上から押さえられる任意の非減少関数に等価関係 ~ に関して実現可能である。
• 共役成長関数は自己同型写像の不変量ではない。指数関数的共役成長を示す群に、2つの共役類しか持たない有限指数部分群が存在することによって示された。
• 可縮的双曲的設定における小サブスティチューション技法により、注入性を保ちつつ双曲的空間への非自明な作用を保証する埋め込みの反復的構成が可能である。
• 双曲的埋め込み部分群の枠組みは、3次元多様体トポロジーおよび相対的双曲的群から一般化された群論的デーン・フィリングのバージョンを支える。