[論文レビュー] Groups acting on manifolds: around the Zimmer program

David Fisher|ArXiv.org|Sep 28, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 132被引用数 58

ひとこと要約

このサーベイ論文は、特に高ランクの単純な非コンパクトリー群やその格子群—ならびにそれらのコンパクト多様体上への作用—を対象とするジンマー・プログラムを包括的にレビューしている。既知の結果を統合し、主要な予想を強調し、剛性、コサイクル超剛性、幾何構造、力学系分野における未解決問題を概説しており、体積保存型作用および滑らかな作用に焦点を当てている。

ABSTRACT

This paper is a survey on the {\em Zimmer program}. In it's broadest form, this program seeks an understanding of actions of large groups on compact manifolds. The goals of this survey are $(1)$ to put in context the original questions and conjectures of Zimmer and Gromov that motivated the program, $(2)$ to indicate the current state of the art on as many of these conjectures and questions as possible and $(3)$ to indicate a wide variety of open problems and directions of research.

研究の動機と目的

• ジンマーとグロモフがジンマー・プログラムを開始した原動力および予想を文脈づけること。
• 特に高ランク格子群のコンパクト多様体上への作用に関連する、ジンマー・プログラム内の予想および問題の現在の研究状況を要約すること。
• 群の作用に関する剛性、正則性、構造的制約といった分野における、広範な未解決問題および新しい研究方向性を特定し提示すること。
• 力学系、幾何構造、表現論の間の関係を微分同相群の文脈で探ること。
• 体積形式、不変計量、性質(T)または超剛性を示す作用といった不変量の役割を検討すること。

提案手法

• マーガリスの超剛性、性質(T)、コサイクル超剛性定理を含む、剛性理論の基礎的結果をサーベイすること。
• 調和写像の技法と有限型の幾何構造を用いて作用を分析し、特に基本群の表現の文脈で検討すること。
• 双曲的力学および安定性理論を用いて、トーラス上での一様双曲的作用および関連する剛性現象を研究すること。
• 位相的および力学的技法を用いて、微分同相群における正則性および有限指数部分群を調査すること。
• シュタックおよびネヴォ＝ジンマーの研究の視点から、不変測度および体積保存型作用の役割を検討すること。
• ジョルダンの定理、バーンサイドの問題、ティーツの代替定理といった古典的群論的定理の、多様体の微分同相群における類似物を検討すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のコンパクト多様体の微分同相群の有限部分群は、群に依存しない有界指数のアーベル部分群を含むことが示せるか？
• RQ2 特に指数が有界な条件下で、コンパクト多様体上に無限で有限生成な周期群の微分同相群が存在するか？
• RQ3 任意のコンパクト多様体の微分同相群の有限生成部分群は、2生成元の自由群を含むか、またはボレル測度を保存するか？
• RQ4 微分同相群の有限生成部分群において、指数的成長が一様指数的成長を意味するのはどのような条件下か？
• RQ5 古典的線形群の性質—例えば、残余有限性や一様指数的成長—は、微分同相群の部分群へとどの程度拡張可能か？

主な発見

• コンパクト多様体の微分同相群の連結成分は単純である。これは、エプスタインとエルマンの先行研究を基に、サーフェスがこの事実を確立した。
• ジンマーのコサイクル超剛性定理は、特に体積保存型作用の下で、高ランク格子群の多様体上への作用に強い制約を課える。
• シュタックの例は、不変体積形式が存在しない場合には、格子群の多様体上への作用に対して剛性は期待できないことを示している。
• 円周上での作用に関して、マーガリスの定理は、ギースの予想を裏付けている：任意の $ C^ u $ 級微分同相群の有限生成部分群は、2生成元の自由群を含むか、またはボレル測度を保存する。
• トンプソン群の球面上への作用、および $ ext{Diff}(S^2) $ の極めて歪んだ部分群の存在は、微分同相群が非線形的で特異な部分群を含える可能性があることを示している。
• ムンドエト・イ・リエラの最近の研究は、有限単純群の分類に依存しない形で、微分同相群の文脈におけるジョルダンの定理の肯定的解決に向けた証拠を示している。