[論文レビュー] Groups acting on semimetric spaces and quasi-isometries of monoids

Robert D. Gray, Mark Kambites|ArXiv.org|Jun 2, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非対称で部分的に定義された距離関数を備えた空間（半距離空間）に対する一般化された準等長写像の概念を導入し、群がこのような空間に作用する場合のŠvarc-Milnorの補題を拡張する。また、有限生成モノイドの主要な代数的性質—成長率、エンド数、合同類の準等長不変性—が準等長写像のもとで保存されることを示し、幾何的群論と半群論の間の橋渡しを実現する。

ABSTRACT

We study groups acting by length-preserving transformations on spaces equipped with asymmetric, partially-defined distance functions. We introduce a natural notion of quasi-isometry for such spaces and exhibit an extension of the Svarc-Milnor Lemma to this setting. Among the most natural examples of these spaces are finitely generated monoids and semigroups and their Cayley and Schutzenberger graphs; we apply our results to show a number of important properties of monoids are quasi-isometry invariants.

研究の動機と目的

• 距離関数が非対称的かつ部分的に定義された空間（半距離空間）に対して、準等長写像の概念を一般化すること。
• 群が半距離空間に等長作用する場合のŠvarc-Milnorの補題を拡張すること。
• 有限生成モノイドの基本的性質が準等長写像のもとで不変であることを確立し、幾何的不変量と代数的構造の間の関係を構築すること。
• 幾何的群論の道具を用いてモノイドや半群を研究するための幾何的枠組みを提供すること。
• 成長率やエンド数といった性質が、群作用に依存せずに準等長写像のもとで保存されることを示すこと。

提案手法

• 距離関数 d: X × X → ℝ∞ が d(x,y) = 0 ならば x = y を満たし、三角不等式を満たすが、対称性は必ずしも保たれない空間として半距離空間を定義する。
• 乗法的および加法的歪み定数を用いて、半距離空間間の準等長写像を定義し、通常の距離幾何学における定義を一般化する。
• 群が半距離空間に局所的に正確かつコンパactsに作用する場合の一般化されたŠvarc-Milnorの補題を確立し、このような群が空間と準等長であることを示す。
• Cayley図およびSchützenberger図を用いて、有限生成モノイドおよび半群が自然に半距離構造を備えることを利用する。
• 半距離空間への群作用を用いて、有限合同類直径のような性質が準等長不変であることを証明する。
• 群作用に依存しない直接的な幾何的証明を提供し、成長率やエンド数がモノイドにおいて準等長不変であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称的かつ部分的に定義された距離関数（半距離空間）に対して、準等長写像の概念を意味的に拡張できるか？
• RQ2 群が半距離空間に作用する場合、Švarc-Milnorの補題は成り立つか？もし成り立つならば、どのように定式化されるか？
• RQ3 有限生成モノイドの基本的代数的性質（成長率、エンド数など）が準等長写像のもとで保存されるか？
• RQ4 モノイドの合同類がどの程度準等長構造を保存するか？また、その保証に必要な条件は何か？
• RQ5 群作用に依存せずに、モノイドの性質の準等長不変性を確立できるか？

主な発見

• 群が半距離空間に局所的に正確かつコンパactsに作用するとき、その群は空間と準等長である。これは、非対称な設定へのŠvarc-Milnorの補題の拡張である。
• 有限生成モノイド S から S/η への自然な商写像が準等長写像であるための必要十分条件は、η-類の d_A-直径が有界であることである。
• 成長率が直接的な幾何的議論によって準等長不変であることが示された。
• 有限生成モノイドのエンド数は、群作用の考察に依存せず、準等長不変である。
• 有限生成クリフォードモノイド M が、単位元を分離する準同型 φ によって別のモノイド N に写されるとき、M と N が準等長であるための必要十分条件は、単位元の逆像がそれぞれの最大部分群において有限指数をもつことである。
• 有限生成モノイド M と有限群 G の直積 M × G は M と準等長であり、群作用がある場合の半直積に対しても同様の結果が成り立つ。