[論文レビュー] Groups with graphical C(6) and C(7) small cancellation presentations

Dominik Gruber|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Lyndonの曲率公式とvan Kampen図を用いた組合せ的アプローチに基づき、古典的small cancellation理論をグラフィカル$C(6)$および$C(7)$条件へ拡張する。グラフィカル$C(7)$提示を持つ群が非アーベル自由部分群を含むことを証明し、非可換性および指数的成長を示し、$Gr(6)$-ラベル付きグラフが、拡張子を含む任意の無限列の有限グラフを粗く含むことができることを示す。これにより、lacunary hyperbolic群およびGromovのモンスターの明示的構成が可能になる。

ABSTRACT

We extend fundamental results of small cancellation theory to groups whose presentations satisfy the generalizations of the classical C(6) and C(7) conditions in graphical small cancellation theory. Using these graphical small cancellation conditions, we construct lacunary hyperbolic groups and groups that coarsely contain prescribed infinite sequences of finite graphs. We prove that groups given by (possibly infinite) graphical C(7) presentations contain non-abelian free subgroups.

研究の動機と目的

• 古典的$C(6)$および$C(7)$ small cancellation理論の基本的結果を、度合いの仮定なしにグラフィカル設定へ一般化すること。
• グラフィカル$C(7)$提示を持つ群が非アーベル自由部分群を含むことを確立し、非可換性および指数的成長を示すこと。
• 度合いのない組合せ的フレームワークを提供し、指定された無限列の有限グラフ（特に拡張子を含む）を粗く含む群の構成を可能にすること。
• $Gr(7)$および$Gr'(rac{1}{6})$条件を用いて、従来の確率的または非明示的メソッドに代わる、lacunary hyperbolic群の明示的構成を提供すること。

提案手法

• 平面的2複体のオイラー標跡に基づくLyndonの曲率公式を用い、グラフィカル提示におけるvan Kampen図を分析する。
• 最小図における面の境界および弧長に関する組合せ的議論を適用し、曲率および双曲的性質を確立する。
• $Gr(6)$および$Gr(7)$条件をラベル付きグラフに適用し、関係式の重複を制御し、幾何的性質を保証する。
• グラフラベルリングによって誘導される基本群の準同型の像の正規閉包を用いて、自由群の商として群を構成する。
• 超フィルター極限および漸近的コーンを用い、包含写像の単射半径と双曲的定数を特徴づけ、lacunary hyperbolicityを評価する。
• Ollivierの$Gr'(rac{1}{6})$-ラベル付きグラフに関する結果を応用し、lacunary hyperbolicityの組合せ的基準を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的$C(6)$および$C(7)$ small cancellation理論の基本的結果を、度合いの仮定なしにグラフィカル設定へ拡張可能か？
• RQ2 グラフィカル$C(7)$提示が、導かれる群に非アーベル自由部分群の存在を保証するか？
• RQ3 $Gr(6)$-ラベル付きグラフを用いて、任意の無限列の有限グラフ（例えば拡張子族を含む）を粗く含む群を構成可能か？
• RQ4 無限グラフにおけるどのような組合せ的条件が、グラフィカルsmall cancellationを用いてlacunary hyperbolic群を明示的に構成可能か？
• RQ5 度合いのないグラフィカルsmall cancellation条件は、従来の確率的または度合いに基づく方法よりも明示的であるGromovのモンスターやlacunary hyperbolic群の構成を可能にするか？

主な発見

• グラフィカル$C(7)$提示によって定義される群は、非アーベル自由部分群を含み、非可換性および指数的成長を示唆する。
• $Gr(6)$条件がラベル付きグラフに満たされていれば、その群は定義されたグラフの直和（特にラベルリングが条件を満たす場合、拡張子族を含む）を粗く含む。
• 適切な部分列への移行により、$Gr(7)$条件を満たす無限グラフ列からlacunary hyperbolic群を構成可能である。
• $Gr'(rac{1}{6})$条件が満たされていれば、グラフ上の組合せ的基準がlacunary hyperbolicityを導き、明示的構成を可能にする。
• 包含写像$G(igcup_{g( au_n)< ho_k} au_n) \to G(igcup_{g( au_n)< ho_{k+1}} au_n)$の単射半径が、双曲的定数よりも速く増加する。girthの集合が疎であれば、lacunary hyperbolicityが保証される。
• girthの集合が疎でない場合、漸近的コーンは$\rR$-木でなくなり、これはlacunary hyperbolicityの失敗を特徴づける。