[論文レビュー] Groups with no coarse embeddings into hyperbolic groups

David Hume, Alessandro Sisto|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有界次数の双曲的グラフへの粗い埋め込みを妨げる幾何的障害として「指数的多数の太めたい角形（fat bigons）」を導入する。指数的成長と線形発散を示す群、例えば非仮想的ノルム的可解群や高ランク格子群は、この性質が粗い埋め込みに関して保存されることから、双曲的群に粗く埋め込むことはできないことが示されている。

ABSTRACT

We introduce an obstruction to the existence of a coarse embedding of a given group or space into a hyperbolic group, or more generally into a hyperbolic graph of bounded degree. The condition we consider is "admitting exponentially many fat bigons", and it is preserved by a coarse embedding between graphs with bounded degree. Groups with exponential growth and linear divergence (such as direct products of two groups one of which has exponential growth, solvable groups that are not virtually nilpotent, and uniform higher-rank lattices) have this property and hyperbolic graphs do not, so the former cannot be coarsely embedded into the latter. Other examples include certain lacunary hyperbolic and certain small cancellation groups.

研究の動機と目的

• 特定の有限生成群が有界次数の双曲的グラフに粗く埋め込まれない幾何的障害を同定すること。
• 群のケイリー図形に指数的多数の太めいたい角形が存在する場合、それらが双曲的グラフへの粗い埋め込みを妨げることを確立すること。
• 既知の障害（例： Baumslag–Solitar部分群など）を代数的構造にとどまらず、幾何的および成長論的性質へと拡張すること。
• 双曲的群への非埋め込み性を示す新しい基準を提示すること——指数的成長と線形発散の組み合わせ。
• この障害が、可解群、ワレーン積、および特定の小分類群を含む広範な群のクラスに適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 太めいたい角形を、中間部で互いに遠く離れている geodesic を持つ3点の組として定義し、太い三角形を形成する。
• パスが geodesic に近接する領域を避けるような $(D,s,2s)$-たい角形の概念を導入する。
• 発散関数 $Div(n)$ を用いて、geodesic の周囲の球を避けるパスの長さを評価し、線形発散とこのようなたい角形の存在を結びつける。
• もし $Div(n) \leq Cn$ が無限に多くの $n$ に対して成り立つ場合、かつ群が指数的成長を示すならば、その群は指数的多数の太めいたい角形を有することを証明する。
• 直接積、可解群、高ランク格子、ワレーン積などの特定クラスにこの結果を適用する。この際、準等長埋め込みを用いる。
• 長さが増加する関係式と $C'(1/6)$-条件を用いて、指数的多数の長く重複しない関係式を持つ小分類群の明示的構成を行い、それらが指数的多数の太めいたい角形を有することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数的多数の太めいたい角形の存在が、双曲的グラフへの粗い埋め込みを妨げる幾何的障害として機能するか。
• RQ2 指数的成長と線形発散を示す群のうち、この障害により双曲的群に粗く埋め込めないのはどれか。
• RQ3 指数的多数の長く重複しない関係式を持つ小分類群は、太めいたい角形を有するか。その場合、双曲的グラフに埋め込めないか。
• RQ4 有界次数のグラフ間の粗い埋め込みにおいて、指数的多数の太めいたい角形を有するという性質は保存されるか。
• RQ5 この障害は、非仮想的ノルム的可解群と、双曲的群に粗く埋め込める群を区別できるか。

主な発見

• 非仮想的ノルム的可解群や一様な高ランク格子群など、指数的成長と線形発散を示す群は、指数的多数の太めいたい角形を有する。
• 有界次数のグラフ間の粗い埋め込みにおいて、指数的多数の太めいたい角形を有するという性質は保存される。
• 有界次数の双曲的グラフは指数的多数の太めいたい角形を有しないので、この性質を有する任意の群はそれらに粗く埋め込むことはできない。
• 群 $G$ が双曲的群に粗く埋め込まれるための必要十分条件は、$G$ が仮想的ノルム的である場合に限る（$G$ が仮想的可解群であるとき）。
• Baumslag–Solitar 群 $BS(m,n)$ については、双曲的群への粗い埋め込みが成り立つのは $m=0$ または $|n|\leq1$ の場合に限る。それ以外の場合は指数的成長と線形発散を示す。
• 長さが増加する関係式と $C'(1/6)$ 条件を満たす小分類群の明示的構成により、指数的多数の長く重複しない関係式を持つ例が得られ、それらは指数的多数の太めいたい角形を有することを示し、双曲的群の部分群ではないことを証明する。