[論文レビュー] Growth of minimal word-length in Garside groups

Sagn Jin Lee|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2004

semigroups and automata theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Garside群 G とその n 乗積 Gⁿ を用いて半直積 ℤ ⋉ Gⁿ を構成することで、Garside 群における最小語長の成長を研究し、群の元の根とべきの性質を分析する。最小語長のべきの成長が指数に比例することを示し、翻訳数の集合が離散的であることを証明するとともに、根の抽出問題が ℤ ⋉ Gⁿ における共轭問題への還元によって決定可能であることを示している。

ABSTRACT

The Garside group, as a generalization of braid groups and Artin groups of finite types, is defined as the group of fractions of a Garside monoid. We show that the semidirect product of Garside monoids is a Garside monoid. We use the semidirect product Z ⋉ G n of the infinite cyclic group Z and the cartesian product G n of a Garside group G to study the properties of roots and powers of elements in G. The main result is an estimate of the growth of the minimal word-length of powers of elements in Garside groups, when the generating set is the set of simple elements. A direct application is that the set of translation numbers in Garside groups is discrete. It gives an affirmative answer to the question of Gersten and Short for the case of Garside groups. The original question is for biautomatic groups. And we show that the root extraction problem in a Garside group G can be reduced to a conjugacy problem in Z ⋉ G n. Using the algorithm for the conjugacy problem in Garside groups, the root extraction problem is decidable for any Garside group.

研究の動機と目的

• Garside 群における元のべきの最小語長の成長挙動を調査すること。
• Garside 群における翻訳数の集合が離散的であるかどうかを特定すること。Gersten と Short が提起した問いに応える。
• 構成された半直積 ℤ ⋉ Gⁿ における共轭問題への還元によって、Garside 群における根の抽出問題を還元すること。
• 既知の共轭問題の解法アルゴリズムを活用して、Garside 群における根の抽出の決定可能性を確立すること。

提案手法

• 無限巡回群 ℤ と Garside 群 G の n 重積 Gⁿ の半直積 ℤ ⋉ Gⁿ を構成すること。
• ℤ ⋉ Gⁿ が Garside モノイド構造を持つことを利用して、G における根とべきの性質を分析すること。
• 単純元の集合を生成集合として用いたとき、G の元の最小語長を分析すること。
• 構造的群論的技法を用いて、Garside 群における根の抽出問題を ℤ ⋉ Gⁿ における共轭問題に還元すること。
• Garside 群における共轭問題を解く既存のアルゴリズムを活用して、根の抽出を解くこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Garside 群における元のべきの最小語長は、指数に従ってどのように成長するか？
• RQ2 Garside 群における翻訳数の集合は離散的か？
• RQ3 Garside 群における根の抽出問題は、既知の決定可能問題に還元可能か？
• RQ4 Garside 群が根とべきの有効な解析を可能にする構造的性質は何か？

主な発見

• Garside 群における元の n 乗の最小語長は、単純元の集合を生成集合として用いたとき、n に比例して線形に成長する。
• Garside 群における翻訳数の集合は離散的であり、Gersten と Short が提起した問いに対して、このクラスの群に対して肯定的な答えを与える。
• Garside 群における根の抽出問題は決定可能であり、半直積 ℤ ⋉ Gⁿ における共轭問題への還元によって示される。
• 半直積 ℤ ⋉ Gⁿ は Garside モノイド構造を継承しており、群の元の有効なアルゴリズム的解析を可能にする。