[論文レビュー] Growth of Weil-Petersson volumes and random hyperbolic surfaces of large genus

Maryam Mirzakhani|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、$g \to \infty$ のとき、双曲的曲面のモジュライ空間のWeil-Petersson体積の漸近的成長を確立し、体積が $(4\pi^2)^{2g+n-3}(2g-3+n)!$ に比例して成長することを示している。これは多項式因子を除いて成り立つ。さらに、大 genus におけるランダムな双曲的曲面は、正の確率で有界なCheeger定数、小さい直径、短い非分離測地線を示すことが判明した。一方、分離測地線は通常長くなる。これは高genus極限における豊かな幾何的構造を示している。

ABSTRACT

In this paper we study the asymptotic behavior of Weil-Petersson volumes of moduli spaces of hyperbolic surfaces of genus $g$ as $g ightarrow \infty.$ We apply these asymptotic estimates to study the geometric properties of random hyperbolic surfaces, such as the Cheeger constant and the length of the shortest simple closed geodesic of a given combinatorial type.

研究の動機と目的

• 固定された $n$ に対して、$g \to \infty$ のとき、 genus $g$ で $n$ 個の穴あきのある双曲的曲面のモジュライ空間のWeil-Petersson体積 $V_{g,n}$ の漸近的挙動を特定すること。
• 大genus極限におけるWeil-Petersson測度の下で、ランダムな双曲的曲面の幾何的性質を調査すること。
• 特に分離および非分離のものである短い単純閉測地線の期待長さに関する定量的評価を確立すること。
• ランダムな大genusの双曲的曲面のCheeger定数と直径を分析すること。

提案手法

• 体積多項式 $V_{g,n}(L)$ の係数の漸近的推定値を、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上の $\psi$-類の交点数に関する再帰的公式を用いて導出する。
• 既知の $\psi$-類の交点数の再帰的関係を用いて、$V_{g,n}$ および $V_{g,n}(L)$ の成長を評価する。
• Weil-Petersson体積形式とそのシンプレクティック構造を用いて、$\mathcal{M}_g$ 上での期待値と確率を計算する。
• 等周不等式と双曲空間内の幾何的解析を用いて、測地線長と曲率に基づいてCheeger定数 $h(X)$ の評価を求める。
• 体積比較と球体積の推定を用いて、関係式 $\operatorname{diam}(X) \leq 2(r_0 + \frac{1}{h}\log(\frac{\operatorname{Vol}(X)}{2B(r_0)}))$ を使って、ランダムな曲面の直径を評価する。
• $\mathbb{E}^{g}_{X\sim wp}(\ell_{\mathrm{sys}}(X)) \asymp \log g$ および $\mathbb{E}^{g}_{X\sim wp}(\sqrt{\operatorname{diam}(X)}) \asymp \sqrt{\log g}$ を用いて、直径および測地線長の尾部確率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $n$ に対して、$g \to \infty$ のとき、Weil-Petersson体積 $V_{g,n}$ はどのように漸近的に成長するか？
• RQ2 大genusのランダムな双曲的曲面において、最短の非分離単純閉測地線の典型的な長さは何か？
• RQ3 大genus極限において、最短の分離単純閉測地線の長さはどのように振る舞うか？
• RQ4 ランダムな双曲的曲面のCheeger定数 $h(X)$ は、$g \to \infty$ のときどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ5 Weil-Petersson測度の下で、ランダムな双曲的曲面の直径はgenus $g$ に対してどのようにスケーリングするか？

主な発見

• 体積 $V_{g,n}$ は、$g \to \infty$ のとき、$V_{g,n} \asymp (4\pi^2)^{2g+n-3}(2g-3+n)!$ を満たす。これは $g$ に関する多項式因子を除いて成り立つ。
• ランダムな曲面が長さが $\epsilon$ 未満の非分離単純閉測地線を持つ確率は、固定された $\epsilon > 0$ に対して漸近的に $\asymp \epsilon^2$ に比例する。
• 最短の分離単純閉測地線の期待長さは、$g \to \infty$ のとき $\mathbb{E}^{g}_{X\sim wp}(\ell^{s}_{\mathrm{sys}}(X)) \asymp \log g$ を満たす。
• ランダムな曲面のCheeger定数 $h(X)$ は、$\operatorname{Prob}^{g}_{wp}(h(X) \leq \frac{\ln 2}{\pi + \ln 2}) \to 0$ となる。これは、高確率で0から離れていることを示している。
• ランダムな曲面の直径は、$C_d = 5$ のとき $\operatorname{Prob}^{g}_{wp}(\operatorname{diam}(X) \geq C_d \log g) \to 0$ を満たし、$\mathbb{E}^{g}_{X\sim wp}(\sqrt{\operatorname{diam}(X)}) \asymp \sqrt{\log g}$ を満たす。
• 逆Cheeger定数の期待値は $\int_{\mathcal{M}_g} \frac{1}{h(X)} \, dX \asymp V_g$ を満たす。これは $h(X)$ が通常0から離れていることを示している。