[論文レビュー] $H^\infty$ functional calculus and maximal inequalities for semigroups of contractions on vector-valued $L_p$-spaces

Quanhua Xu|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2014

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、E が UMD バナッハラティスであるとき、$L_p(X;E)$ 上の収縮半群に対してベクトル値最大不等式を確立する。正則性および解析的仮定の下で、エルゴード最大関数とセクターリング最大関数が $L_p(X;E)$ 上で有界であることを証明し、転送法および $H^\frown{\text{infty}}$ 機能計算技法を用いて、古典的な最大エルゴード定理をベクトル値設定に拡張する。

ABSTRACT

Let $\{T_t\}_{t>0}$ be a strongly continuous semigroup of positive contractions on $L_p(X,μ)$ with $10}\frac1t\Big|\int_0^tT_s(f(\cdot,ω))(x)ds\Big|,\quad (x,ω)\in X imesΩ.$$ Then the following maximal ergodic inequality holds $$\big\|\mathcal M(f)\big\|_{L_p(X; E)}\lesssim \big\|f\big\|_{L_p(X; E)},\quad f\in L_p(X; E).$$ If the semigroup $\{T_t\}_{t>0}$ is additionally assumed to be analytic, then $\{T_t\}_{t>0}$ extends to an analytic semigroup on $L_p(X; E)$ and $\mathcal M(f)$ in the above inequality can be replaced by the following sectorial maximal function $$\mathcal T_θ(f)(x, ω)=\sup_{|{ m arg}(z)|0$. Under the latter analyticity assumption and if $E$ is a complex interpolation space between a Hilbert space and a UMD Banach space, then $\{T_t\}_{t>0}$ extends to an analytic semigroup on $L_p(X; E)$ and its negative generator has a bounded $H^\infty(Σ_σ)$ calculus for some $σ

研究の動機と目的

• $L_p(X;E)$ 値関数に対する古典的なダンフォード＝シュワーツの最大エルゴード不等式を、ベクトル値設定に拡張すること。
• E が UMD バナッハラティスであるとき、解析的半群に対するセクターリング最大関数が $L_p(X;E)$ 上で有界であることを確立すること。
• 最大不等式と解析的半群の生成子に対する有界な $H^\frown{\text{infty}}$ 機能計算の存在との間の関係を調査すること。
• 1 < p < q に対するベクトル値最大不等式の正当性について、転送を用いてフェッファーマン＝スタインの不等式に還元することで、未解決の問題を解決すること。
• 解析的半群が $L_p(X)$ 上で定義されるとき、$L_p(X;E)$ 上に有界な $H^\frown{\text{infty}}$ 機能計算を持つ解析的半群に拡張されるための条件を特定すること。

提案手法

• 1 < p < q に対するベクトル値最大不等式を、実直線上の既知のフェッファーマン＝スタインの不等式に還元するために、転送原理を用いる。
• 正則作用素の概念を $L_p(X;E)$ に拡張し、正の性質および支配性の性質がベクトル値設定でも保たれることを保証する。
• UMD 空間上の $H^\frown{\text{infty}}$ 機能計算理論を用い、最大不等式と機能計算の有界性を結びつける。
• 解析的半群を $\Sigma_\theta$ のセクターに拡張し、機能計算の有界性を用いてセクターリング最大関数の有界性を確立する。
• $H^\frown{\text{infty}}$ 機能計算から導かれる平方関数不等式を用い、特に $\varphi(z) = z e^{-z}$ を用いて平方関数における時間微分項を回復する。
• 特に、E が UMD バナッハラティスであるとき、$L_p(X;E)$ が非自明な下凸性および上凸性を備えることを利用した補間および双対性の議論に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 E が UMD バナッハラティスであるとき、$\{T_t\}$ が $L_p(X)$ 上の正規連続な正則収縮半群であると仮定した下で、$1 < p < \infty$ に対して形式 $\|\mathcal{M}(f)\|_{L_p(X;E)} \lesssim \|f\|_{L_p(X;E)}$ のベクトル値最大不等式が成立するか。
• RQ2 さらに $\{T_t\}$ が解析的であるという追加仮定のもとで、エルゴード最大関数 $\mathcal{M}(f)$ をセクターリング最大関数 $\mathcal{T}_\theta(f)$ に置き換えられるか。
• RQ3 E がヒルバート空間と UMD バナッハ空間の複素補間空間であるとき、$L_p(X)$ 上の解析的半群の負の生成子が、$L_p(X;E)$ 上で $H^\infty(\Sigma_\sigma)$ 機能計算を有界に持つか、ある $\sigma < \pi/2$ に対して。
• RQ4 E が UMD ラティスであるとき、$L_{1,\infty}(X;E)$ 上で $\mathcal{M}(f)$ の弱型 $(1,1)$ 最大不等式が有効か。
• RQ5 Banach 空間 E にどのような条件を課すと、$L_p(X)$ 上の解析的半群が、有界な $H^\infty$ 機能計算を持つ $L_p(X;E)$ 上の解析的半群に拡張できるか。

主な発見

• E が UMD バナッハラティスであるとき、$\{T_t\}$ が $L_p(X)$ 上の正規連続な正則収縮半群であると仮定した下で、すべての $f \in L_p(X;E)$ に対して最大エルゴード不等式 $\|\mathcal{M}(f)\|_{L_p(X;E)} \lesssim \|f\|_{L_p(X;E)}$ が成立する。
• 解析的半群に対して、セクターリング最大関数 $\mathcal{T}_\theta(f)(x,\omega) = \sup_{|\arg(z)| < \theta} |T_z(f(\cdot,\omega))(x)|$ は、ある $\theta > 0$ に対して $\|\mathcal{T}_\theta(f)\|_{L_p(X;E)} \lesssim \|f\|_{L_p(X;E)}$ を満たす。
• 解析的かつ E がヒルバート空間と UMD バナッハ空間の複素補間空間であると仮定した下で、$\{T_t\}$ の生成子は、ある $\sigma < \pi/2$ に対して $L_p(X;E)$ 上で有界な $H^\infty(\Sigma_\sigma)$ 機能計算を持つ。
• 平方関数不等式 $\left\| \left( \int_0^\infty t \left| \frac{\partial}{\partial t} T_t(f) \right|^2 dt \right)^{1/2} \right\|_{L_p(X;E)} \lesssim \|f\|_{L_p(X;E)}$ が、$\varphi(z) = z e^{-z}$ を用いた $H^\infty$ 機能計算から導かれる。
• 転送原理により、1 < p < q に対するベクトル値不等式がフェッファーマン＝スタインの不等式に還元され、チャーペンティエおよびデレアヴァルが提起した疑問に肯定的に答えられる。
• 提示された条件下で、半群の $L_p(X;E)$ 上への拡張は解析的であり、生成子は有界な $H^\infty$ 機能計算を持つ。最大不等式と機能計算理論の間の関係が結びつけられる。