[論文レビュー] Hölder continuity and injectivity of optimal maps

Alessio Figalli, Young‐Heon Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、密度が有界かつ非退化である場合に、コスト関数に対して(A3)w条件が成り立つ下で、最適輸送写像の局所 Hölder 連続性と単射性を確立する。c-凸関数の等高線集合が凸になるようにする座標変換を導入し、新しいアレクサンドロフ型推定式を導出し、内部点と境界点の混合を防ぐ位相的補題を証明することで、著者らは最適写像が局所的に $ C^{1,\alpha} $ であることを示す。Hölder 係数 $ \alpha > 0 $ は次元と密度の上限・下限にのみ依存し、コスト関数に依存しない。

ABSTRACT

Consider transportation of one distribution of mass onto another, chosen to optimize the total expected cost, where cost per unit mass transported from x to y is given by a smooth function c(x,y). If the source density f^+(x) is bounded away from zero and infinity in an open region U' \subset R^n, and the target density f^-(y) is bounded away from zero and infinity on its support \cl V \subset R^n, which is strongly c-convex with respect to U', and the transportation cost c satisfies the A3w condition of Trudinger and Wang \cite{TrudingerWang07p}, we deduce local Hölder continuity and injectivity of the optimal map inside U' (so that the associated potential u belongs to C^{1,α}_{loc}(\U')). Here the exponent α>0 depends only on the dimension and the bounds on the densities, but not on c. Our result provides a crucial step in the low/interior regularity setting: in a sequel \cite{FigalliKimMcCann09p}, we use it to establish regularity of optimal maps with respect to the Riemannian distance squared on arbitrary products of spheres. Three key tools are introduced in the present paper. Namely, we first find a transformation that under A3w makes c-convex functions level-set convex (as was also obtained independently from us by Liu \cite{Liu09}). We then derive new Alexandrov type estimates for the level-set convex c-convex functions, and a topological lemma showing optimal maps do not mix interior with boundary. This topological lemma, which does not require A3w, is needed by Figalli and Loeper \cite{FigalliLoeper08p} to conclude continuity of optimal maps in two dimensions. In higher dimensions, if the densities f^\pm are Hölder continuous, our result permits continuous differentiability of the map inside U' (in fact, C^{2,α}_{loc} regularity of the associated potential) to be deduced from the work of Liu, Trudinger and Wang \cite{LiuTrudingerWang09p}.

研究の動機と目的

• 密度が0および∞から離れている低正則性設定において、最適輸送写像の局所 Hölder 連続性と単射性を確立すること。
• (A3)w 条件の下で、c-凸関数の等高線集合が凸になるようにする座標変換を考案すること。
• 等高線集合が凸であるc-凸関数に対する新しいアレクサンドロフ型推定式を導出し、曲率と正則性を制御すること。
• 最適写像が内部点と境界点を混合しないことを保証する位相的補題を証明し、次元が3以上の場合の単射性に不可欠な役割を果たすこと。
• コスト関数 $ c $ に依存しない普遍的な Hölder 係数を潜在関数 $ u $ に対して確立すること。

提案手法

• c-凸関数の等高線集合が凸になるようにする座標変換を導入し、リウが別個に得た結果を一般化すること。
• 変換後の座標系を用いて、c-凸関数のMonge-Ampère測度に対する新しい下界および上界を導出すること。
• 一般な仮定の下で、部分微分 $ \partial^c u $ が定義域の内部点と境界点を混合しないことを示す位相的補題を証明すること。
• 嚻没性（engulfing property）と変換後のc-凸性を用いて、潜在関数 $ u $ の成長を制御する微分不等式を導出すること。
• $ C^{1,1/K} $ 正則性推定式に基づく比較議論を適用し、$ u $ の局所的 $ C^{1,\alpha} $ 正則性を導出すること。
• Hessian行列式の積が一様に有界である有限個の近傍で領域を被覆するアプローチにより、普遍的な Hölder 係数 $ \alpha > 0 $ を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度が0および∞から離れている場合に、最適輸送写像が局所 Hölder 連続となる条件は何か？
• RQ2 次元と密度の上限・下限が与えられたとき、特定のコスト関数 $ c $ に依存せずに最適写像の正則性を確立できるか？
• RQ3 (A3)w 条件のもとで、c-凸関数の幾何的構造を等高線集合の凸性に簡略化する変換が可能か？
• RQ4 (A3)w 条件を仮定しないで、最適写像が内部点と境界点を混合しないという位相的障害を証明できるか？
• RQ5 潜在関数 $ u $ の鋭い Hölder 係数は何か？また、それはコスト関数 $ c $ に依存するか？

主な発見

• (A3)w 条件と有界密度のもとで、最適写像は局所 Hölder 連続で、かつ領域 $ U' $ の内部で単射である。Hölder 係数は $ \alpha > 0 $ である。
• 潜在関数 $ u $ は $ C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(U') $ に属し、Hölder 係数 $ \alpha > 0 $ は次元 $ n $ と出発密度の下限 $ \lambda $ のみに依存する。
• Hölder 係数は普遍的である：コスト関数 $ c $ に依存せず、$ n $ と $ \lambda $ のみに依存する。Hessian行列式の積が一様に有界である被覆による議論により示された。
• 新しい座標変換が構成され、(A3)w 条件のもとで c-凸関数が等高線集合が凸になるようにし、新たなアレクサンドロフ型推定式の導出を可能にした。
• $ \partial^c u $ が内部点と境界点を混合しないことを示す位相的補題が証明され、次元 $ n \geq 3 $ における単射性に不可欠な役割を果たす。
• 本結果は、球面の積上でリーマン距離の二乗をコスト関数とする最適輸送写像の正則性への重要な一歩を提供する。この応用は、続編で示されている。