[論文レビュー] Hölder Continuity of Cumulative Distribution Functions for Noncommutative Polynomials under Finite Free Fisher Information

Marwa Banna, Tobias Mai|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限の非ミクロ状態自由フィッシャー情報量を持つ自己随伴確率変数における非可換多項式の累積分布関数のホルダー連続性を確立する。多項式の次数にのみ依存する明示的なホルダー指数を証明し、線形多項式では最適な指数 $\frac{2}{3}$ を達成し、リプシッツ連続性を示す共役変数の下ではリプシッツ連続性が成り立つ。これにより、部分的な正則性とエントロピーの有限性に関する予想が裏付けられる。

ABSTRACT

This paper contributes to the current studies on regularity properties of noncommutative distributions in free probability theory. More precisely, we consider evaluations of selfadjoint noncommutative polynomials in noncommutative random variables that have finite non-microstates free Fisher information, highlighting the special case of Lipschitz conjugate variables. For the first time in this generality, it is shown that the analytic distributions of those evaluations have Hölder continuous cumulative distribution functions with an explicit Hölder exponent that depends only on the degree of the considered polynomial. For linear polynomials, we reach in the case of finite non-microstates free Fisher information the optimal Hölder exponent $\frac{2}{3}$, and get Lipschitz continuity in the case of Lipschitz conjugate variables. In particular, our results guarantee that such polynomial evaluations have finite logarithmic energy and thus finite (non-microstates) free entropy, which partially settles a conjecture of Charlesworth and Shlyakhtenko [CS16]. We further provide a very general criterion that gives for weak approximations of measures having Hölder continuous cumulative distribution functions explicit rates of convergence in terms of the Kolmogorov distance. Finally, we combine these results to study the asymptotic eigenvalue distributions of polynomials in GUEs or matrices with more general Gibbs laws. For Gibbs laws, this extends the corresponding result obtained in [GS09] from convergence in distribution to convergence in Kolmogorov distance; in the GUE case, we even provide explicit rates, which quantify results of [HT05,HST06] in terms of the Kolmogorov distance.

研究の動機と目的

• 非可換確率論における非可換多項式の非可換分布の正則性特性を確立すること。
• 自己随伴非可換多項式の評価における累積分布関数（CDF）のホルダー連続性を特定すること。
• 有限の非ミクロ状態自由フィッシャー情報量の下で、多項式の次数にのみ依存する明示的なホルダー指数を提供すること。
• このような多項式評価が有限の対数的エネルギーを有し、したがって有限の非ミクロ状態自由エントロピーを有することを確認し、チャールズワースとシュライクテンコの予想を部分的に解決すること。
• ホルダー連続なCDFを有する測度の弱近似におけるコルモゴロフ距離の収束速度を明示的に導く一般基準を構築すること。

提案手法

• 非ミクロ状態自由フィッシャー情報量の枠組みを用いて、非可換分布の正則性を分析する。
• 行列値リソルベントとシュール補行列恒等式を用いた非可換多項式の自己随伴線形表現を適用する。
• $L^2(\mathcal{M},\tau)^d$ におけるリソルベント恒等式とコーシー・シュワーツ不等式を用いて、リソルベントトレースの差を評価する。
• 多項式評価のリソルベントとブロック行列リソルベントとの差に明示的な評価を導出し、ホルダー連続性の推定値を得る。
• ホルダー連続性の結果と、弱近似におけるコルモゴロフ距離の収束速度に関する一般基準を組み合わせる。
• GUEやギブス測度を有する行列を含むランダム行列アンサンブルにこの枠組みを適用し、コルモゴロフ距離における明示的な収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の非ミクロ状態自由フィッシャー情報量の下で、非可換多項式の累積分布関数に保証できる正則性特性、特にホルダー連続性は何か？
• RQ2 自由フィッシャー情報量が有限の下で、線形非可換多項式のCDFの最適なホルダー指数は何か？
• RQ3 有限の自由フィッシャー情報量は、多項式評価が有限の対数的エネルギーを有すること、したがって有限の非ミクロ状態自由エントロピーを有することを示唆するか？
• RQ4 ホルダー連続なCDFを有する測度の弱近似におけるコルモゴロフ距離の収束速度を、明示的に導けるか？
• RQ5 これらの正則性および収束結果は、GUE行列やギブス則に従う行列における多項式の漸近的固有値分布にどのように応用できるか？

主な発見

• 任意の自己随伴非可換多項式評価の累積分布関数は、多項式の次数にのみ依存するホルダー連続性を有する。
• 線形多項式の場合、有限の非ミクロ状態自由フィッシャー情報量の下で最適なホルダー指数 $\frac{2}{3}$ が達成される。
• リプシッツ共役変数の下では、CDFはリプシッツ連続であり、指数1に相当する。
• これらの結果は、このような多項式評価が有限の対数的エネルギーを有すること、したがって有限の非ミクロ状態自由エントロピーを有することを示唆し、チャールズワースとシュライクテンコの予想を支持する。
• ホルダー連続なCDFを有する測度の弱近似におけるコルモゴロフ距離の収束速度を明示的に導く一般基準が確立された。
• この枠組みにより、GUE行列やギブス測度を有する行列における多項式の漸近的固有値分布について、コルモゴロフ距離における明示的な収束速度が得られ、従来の分布収束からより強い収束への拡張がなされた。