[論文レビュー] H-twisted Courant algebroids

Melchior Grützmann|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、H を局所的に閉形式または完全形式であることを要求する標準的な場合を越えて、H-twisted Courant algebroids を一般化する。H がアーロン写像の核に値をとる四形式であり、自然な外微分接続に対して閉じているものとする。このような代数的構造に対して、素朴なコホロジー理論を定義し、Dirac 構造が自然に H-twisted Lie algebroids を誘導することを示した。これは一般化幾何学および弦理論における既知の構成を拡張するものである。

ABSTRACT

We generalize Hansen--Strobl's definition of $H$-twisted Courant algebroid such that the twist $H$ of the Jacobi identity is a 4-form in the kernel of the anchor map and is closed under a naturally occurring exterior covariant derivative. We give examples and define a cohomology.

研究の動機と目的

• H が局所的に閉または完全な四形式であるという標準的ケースを超えて、H-twisted Courant algebroids の概念を一般化すること。
• 強いアーロン写像をもつほぼ Courant algebroids に対して、アーロン写像の核に値をとるセクションの上に自然な外微分接続を定義すること。
• H-twisted Courant algebroids に対して、ねじれ条件を満たすとき、微分が 0 に平方されるような、素朴な微分を用いたコホロジー理論を構成すること。
• H-twisted Courant algebroids 内の Dirac 構造が自然に H-twisted Lie algebroids を誘導することを示し、既知の幾何学的・代数的構造を拡張すること。
• Roytenberg の Courant–Dorfman 代数フレームワークを、非完全な H ねじれを扱えるように一般化すること。

提案手法

• アーロン写像の核 kerρ に値をとるセクションの上に、接続を備えた strongly anchored ほぼ Courant algebroids を定義する。
• Jacobiator が四形式 H ∈ Ω⁴(M, kerρ) である H-twisted Courant algebroids を導入し、H が誘導された外微分接続 d_H に関して閉じていることを要請する。
• H による作用で消える形式からなる Ω•(kerρ) の複体を用いて、素朴なコホロジー複体を構成し、微分を接続 D で与える。
• H-twisted Courant–Dorfman 代数を、非完全な H ねじれを扱えるように Roytenberg のフレームワークを一般化して定義する。
• 素朴な微分 D が H-閉形式を H-閉形式に写すこと、したがってコホロジー複体が適切に定義されることを証明する。
• 符号が分離された H-twisted Courant algebroids 内の最大的自己双対的可積分部分バンドル（Dirac 構造）が、H の制限により H-twisted Lie algebroids を誘導することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H が閉または完全である場合を越えて、H-twisted Courant algebroids の概念を一般化できるか。特に、H が kerρ に値をとる四形式である場合に有効か。
• RQ2 この一般化された設定において、H の閉じる条件を支配する Ω•(kerρ) 上の自然な外微分接続は何か。
• RQ3 H-twisted Courant algebroids に対して素朴なコホロジー理論が存在するか。微分が 0 に平方される条件は何か。
• RQ4 H-twisted Courant algebroids 内の Dirac 構造と H-twisted Lie algebroids の関係は何か。この対応関係におけるねじれ H の役割は何か。
• RQ5 Courant–Dorfman 代数フレームワークは、Courant algebroids 内の非完全な H ねじれを扱えるように拡張可能か。

主な発見

• 本稿では、H による作用で消える Ω•(kerρ) の形式を用いて、H-twisted Courant algebroids に対するコホロジー理論を構成し、微分 D を用いて、適切に定義されたコホーン複体を形成する。
• 条件 d_H H = 0 により、微分 D が H-閉形式上で 0 に平方されることを示し、コホロジーが適切に定義されることを保証する。
• 符号が分離された H-twisted Courant algebroids 内の Dirac 構造は、自然に H-twisted Lie algebroids を誘導する。このとき、ねじれ H は kerρ|L に値をとる D-閉三形式を誘導する。
• Courant algebroid から出発し、特定の可積分性条件を満たす kerρ-三形式を用いて、一般化された正確な四形式の例を提供する。
• H が非完全であるが、自然な接続に関して閉じているという条件を満たす限り、H-twisted Courant algebroids の既存の結果を一般化する。
• Roytenberg の Courant–Dorfman 代数フレームワークを H-twisted 設定に拡張し、一般化幾何学における非完全ねじれの取り扱いを可能にする。