[論文レビュー] Hamilton-Jacobi equations for optimal control on multidimensional junctions

Salomé Oudet|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2014

Optimization and Variational Analysis参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、共通の (d-2) 次元の界面を共有する半平面からなる R^d 内のネットワーク型構造（多様な接合点）上におけるハミルトニアン・ジャコビ方程式の粘性解理論を構築する。一般の可制御性仮定の下で、比較原理を確立し、値関数が粘性解であることを証明することで、滑らかでない幾何構造を有する分岐した状態空間への最適制御理論の拡張を達成する。

ABSTRACT

We consider continuous-state and continuous-time control problems where the admissible trajectories of the system are constrained to remain on a union of half-planes which share a common straight line. This set will be named a junction. We define a notion of constrained viscosity solution of Hamilton-Jacobi equations on the junction and we propose a comparison principle whose proof is based on arguments from the optimal control theory.

研究の動機と目的

• R^d 内の多様な接合点に制約された最適制御問題に対して、適切に定式化されたハミルトニアン・ジャコビ方程式を定式化すること。
• 状態空間が滑らかでない分岐構造を有する接合点上での制約付き粘性解の概念を定義すること。
• 動的システムおよびハミルトニアンに関する一般仮定の下で、粘性解に対する比較原理を確立すること。
• 従来のネットワークに関する結果を、1次元の界面（例：R^3 内の直線）を有する高次元接合点へと拡張すること。
• 最適制御問題の値関数が導出された HJ 方程式の粘性解であることを証明すること。

提案手法

• R^d 内の共通の (d-2) 次元界面 Γ を共有する半平面の合併として接合点を定義する。
• 各半平面で HJ 方程式を満たし、界面で伝送条件を満たすことで、制約付き粘性解を定義する。
• 界面 Γ 沿いの動的挙動を記述するため、接線方向のハミルトニアン H^T_Γ を導入する。
• Barles, Briani, Chasseigne のアプローチにインspiredされた動的計画法および制御論的議論を用いて、比較原理を導出する。
• Γ の近傍における強い可制御性または法線可制御性仮定を活用し、半平面と界面を往復する許容可能な軌道を用いた摂動議論を実施する。
• 近似軌道の列と漸近展開を用いた粘性下解のテストにより、接合点における HJ 不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない界面を有する多様な接合点上での最適制御問題に対して、ハミルトニアン・ジャコビ方程式をどのように定式化できるか？
• RQ2 複数の半平面が1本の直線に沿って接合する分岐集合上での適切な粘性解の概念は何か？
• RQ3 異なる領域におけるハミルトニアンが独立的かつ非強制的である場合、このような HJ 方程式に対して比較原理をどのように確立できるか？
• RQ4 動的システムおよび制御集合にどのような条件を課すと、値関数が粘性解となるか？
• RQ5 接合界面における伝送条件は、解の構造および一意性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 接合点上での最適制御問題の値関数は、導出されたハミルトニアン・ジャコビ方程式の粘性解である。
• 法線方向の界面可制御性および各半平面内での独立したハミルトニアンを仮定した一般仮定の下で、比較原理が確立された。
• 解は、動的挙動の法線成分と接線成分の両方を含む界面における伝送条件を満たす。
• 証明は純粋に PDE の手法ではなく、制御論的議論に依拠しており、[2] の結果を高次元接合点へと拡張する。
• 接線方向ハミルトニアン H^T_Γ の存在は、界面 Γ 上に留まる軌道を捕捉するために不可欠である。
• 本手法は界面を越えて不連続な動的挙動および走行コストを許容でき、従来のネットワークやアイケオナル方程式に関する先行研究を一般化する。