[論文レビュー] Hamiltonian Algebroid Symmetries in W-gravity and Poisson sigma-model

A. Levin, Olshanetsky|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、基底空間上のリー代数ラティスを、余接 bundle の主要アフィン bundle 上へのハミルトニアン作用へと上げることで、正準変換のリー代数の一般化としてハミルトニアン代数的構造を導入する。これらの代数的構造に対するBRST作用素は、ゲスト場において3次であることが示され、リー代数の場合の一般化となる。主な結果として、$W_3$-重力およびポアソンシグマ模型に対するBRST形式が得られ、代数的構造の対称性がチェーン＝シモンズ理論から導かれる。

ABSTRACT

Starting from a Lie algebroid ${\cal A}$ over a space V we lift its action to the canonical transformations on the principle affine bundle ${\cal R}$ over the cotangent bundle $T^*V$. Such lifts are classified by the first cohomology $H^1({\cal A})$. The resulting object is the Hamiltonian algebroid ${\cal A}^H$ over ${\cal R}$ with the anchor map from $\G({\cal A}^H)$ to Hamiltonians of canonical transformations. Hamiltonian algebroids generalize the Lie algebras of canonical transformations. We prove that the BRST operator for ${\cal A}^H$ is cubic in the ghost fields as in the Lie algebra case. To illustrate this construction we analyze two topological field theories. First, we define a Lie algebroid over the space $V_3$ of $\SL$-opers on a Riemann curve $\Si_{g,n}$ of genus g with n marked points. The sections of this algebroid are the second order differential operators on $\Si_{g,n}$. The algebroid is lifted to the Hamiltonian algebroid over the phase space of $W_3$-gravity. We describe the BRST operator leading to the moduli space of $W_3$-gravity. In accordance with the general construction the BRST operator is cubic in the ghost fields. We present the Chern-Simons explanation of our results. The second example is the Hamiltonian algebroid structure in the Poisson sigma-model invoked by Cattaneo and Felder to describe the Kontsevich deformation quantization formula. The hamiltonian description of the Poisson sigma-model leads to the Lie algebraic form of the BRST operator.

研究の動機と目的

• 基底空間上のリー代数ラティスを、位相空間へのハミルトニアン作用への一般化として、リー代数ラティスを余接 bundle の主要アフィン bundle 上に上げることによって、正準変換のリー代数を一般化すること。
• リー代数ラティスの1次コホモロジー群 $H^1({\cal A})$ を用いて、このような上げの分類を行うこと。
• ハミルトニアン代数的構造に対して、ゲスト場に3次依存性を示すBRST作用素 $\Omega$ を構成し、リー代数的構造への拡張を行うこと。
• この枠組みを $W_3$-重力およびポアソンシグマ模型に適用し、それらのBRST構造を導出し、変形量子化と関連付けること。
• ハミルトニアン代数的構造の対称性が、$W_3$-重力においてチェーン＝シモンズ場理論的起源を持つことを提供すること。

提案手法

• 空間 $V$ 上のリー代数ラティス ${\cal A}$ を、$T^*V$ 上の主要アフィン bundle ${\cal R}$ 上のハミルトニアン代数ラティス ${\cal A}^H$ に上げること。
• リー代数ラティスの1次コホモロジー $H^1({\cal A})$ を用いて、代数的構造の作用が正準変換に上げられる可能性を分類すること。
• ゲスト場 $\eta_j$ に3次依存性を示す、ランク1の作用素としてBRST作用素 $\Omega$ を構成すること。
• $W_3$-重力にBRST形式を適用し、${\rm SL}(3,{\bf C})$-オーバーの空間を基底空間とし、2階微分作用素をセクションとする。
• 制約と双対作用素の解析を通じて、ポアソンシグマ模型におけるハミルトニアン代数的構造を導出し、BRST形式と整合的であることを示すこと。
• 2段階のゲージ固定を伴うチェーン＝シモンズ理論を用いて、$W_3$-重力における代数的構造の対称性の起源を説明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数ラティスの対称性は、どのように余接 bundle の主要アフィン bundle 上のハミルトニアン作用に上げられるか？
• RQ2 $H^1({\cal A})$ は、このような上げの分類において果たす役割は何か？
• RQ3 ハミルトニアン代数的構造に対するBRST作用素は、リー代数の場合に見られる3次ゲスト場依存性を保持するか？
• RQ4 ハミルトニアン代数的構造の枠組みは、$W_3$-重力およびポアソンシグマ模型に、整合的なBRST量子化とともに適用可能か？
• RQ5 $W_3$-重力における代数的構造の対称性のチェーン＝シモンズ理論的起源は何か？

主な発見

• ハミルトニアン代数的構造 ${\cal A}^H$ のBRST作用素は、ゲスト場において3次であり、リー代数的BRST理論で見られる構造を保存している。
• リー代数ラティスからハミルトニアン代数的構造への上げは、1次コホモロジー群 $H^1({\cal A})$ によって分類される。
• $W_3$-重力において、基底空間はリーマン面 $\Sigma_{g,n}$ 上の ${\rm SL}(3,{\bf C})$-オーバーの空間であり、セクションは2階微分作用素で与えられる。
• 位相空間のシンプレクティック商は ${\cal W}_3$-幾何を生じさせ、一般化された複素構造のモジュライ空間とスピン2およびスピン3場が統合される。
• ポアソンシグマ模型において、ハミルトニアン代数的構造は、リー代数的形のBRST作用素を導き、カッタネオとフェルダーの変形量子化枠組みと整合的である。
• チェーン＝シモンズ理論は、$W_3$-重力における代数的構造の対称性の出現を説明する2段階のゲージ固定を提供する。