[論文レビュー] Hamiltonian consistency of the gravitational constraint algebra under deformations

José T. Gálvez Ghersi, Michael J. Desrochers+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論の正準変数（計量や四脚など）を変形する一般枠組みを構築する。この変形は、重力の制約代数の第一類構造を保ちつつ、一貫したゲージ力学を保証する。非正準的で新たな自由度を導入する変形であっても、変形理論が微分同型不変性および安定なゲージ固定を維持するための整合性条件を導出する。

ABSTRACT

The importance of the first-class constraint algebra of general relativity is not limited just by its self-contained description of the gauge nature of spacetime, but it also provides conditions to properly evolve the geometry by selecting a gauge only once throughout the whole evolution of a gravitational system. This must be a property of all background independent theories. In this paper we consider gravitational theories which arise from deformations of the fundamental canonical variables of general relativity where the proposed deformations are inspired by modifications of gravity. These variable deformations result in new theories when the deformation is not a canonical transformation. The new theory must preserve the first-class structure of the algebra, which is a non-trivial restriction for generic deformations. In this vein we present a general deformation scheme along with consistency conditions, so that the algebra of constraints is still satisfied in the resulting theory. This is illustrated both in metric theory as well as in tetrad theory.

研究の動機と目的

• 非正準的変数変形によって生じる変形重力理論が、一貫したゲージ力学に不可欠な第一類制約代数構造を保持することを保証すること。
• 一般の変数変形が制約代数の閉包性を破る可能性があるという挑戦に応えること。これにより理論の整合性とゲージ固定の安定性が損なわれる。
• 計量形式および四脚形式の両方の重力理論に適用可能な体系的な手法を提供すること。追加自由度の有無に関わらず適用可能である。
• ループ量子重力におけるホロノミー補正のような既存の手法を拡張し、物質が存在する場合でも代数的整合性が保たれることを保証すること。
• 変形が追加自由度を分離させたり、ゴールドストーンモードとして再解釈させることで物理的整合性を維持できるように制御可能であることを示すこと。

提案手法

• ハミルトニアン重力における正準変数（計量、四脚、接続）の一般変形スキームを形式化し、変形された場を元の変数の関数として扱う。
• 正準力学を用いて変形された変数から新たな共役運動量を導出し、新しい変数が有効なハミルトニアン系を形成することを保証する。
• 変形されたスカラー、ベクトル、ガウス制約のポアソン括弧を評価し、代数の閉包条件を特定する。
• アインシュタイン＝ヒルベルト作用、四脚変数を用いたパラティーニ作用、アシュテカール＝バーバー変数にこの形式を適用し、変形制約を同定する。
• 2つの状況を分析する：(I) 高階微分項を含まない変形（正準でなければロヴェロックの定理により自由度数は元のまま、さもなければ自明な変形に限る）；(II) 新たな自由度を導入する非ユニタリ変形。
• トレースレス対称計量変形を具体的な例として用い、スカラーおよびベクトル制約がゲージ不変性を保つための条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における正準変数の変形が、制約代数の第一類構造を保つための条件は何か？
• RQ2 非正準的変形が新たな自由度を導入しつつも、一貫したゲージ力学と微分同型不変性を維持できる方法は何か？
• RQ3 計量または四脚の変形にどのような制約を課すことで、スカラーおよびベクトル制約が閉じてゲージ不変性を保てるか？
• RQ4 ループ量子重力におけるホロノミー型補正は、この枠組み内で代数的整合性を保ちつつ一貫して実装可能か？
• RQ5 変形がシフト関数およびラプス関数を変化させた場合、制約代数はどのように変化するか？また、そのような系でも安定なゲージ固定が可能になる仕組みは何か？

主な発見

• 本稿は、変形が正準変換でない場合でも、変形重力理論が制約代数の第一類構造を保つための明示的整合性条件を導出する。
• 高階微分項を含まない変形では、ロヴェロックの定理により、自由度数を元のまま保つのは正準変換に限る（そうでなければ自明な変形）。
• 非ユニタリ変形により新たな自由度が導入される場合、スカラーおよびベクトル制約が一貫性を保つのは、ポアソン括弧の閉包から導かれる特定の代数的制約を満たす場合に限る。
• トレースレス対称計量変形の具体例から、新しいハミルトニアンにはゲージ不変性を維持するための追加制約が必要であることが示され、これにより余分な自由度が分離されたり、ゴールドストーンモードとして再解釈される。
• この枠組みは四脚＝パラティーニ形式およびアシュテカール＝バーバー形式へも成功裏に拡張され、同様の整合性条件が適用可能であることが示され、ホロノミー補正も一貫して埋め込める。
• 解析により、余分な項をガウス制約に射影することで制約代数を保存でき、元の作用が変更された場合でも一貫した計量実現が可能であることが確認された。