[論文レビュー] Hamiltonian surgery: Cheeger-type gap inequalities for nonpositive (stoquastic), real, and Hermitian matrices

Michael Jarret|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2018

Matrix Theory and Algorithms参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ハミルトニアンを $ H = L + W $ に分解することにより、非正（ストキュアスティック）、実、およびエルミート行列に対するチーバー型不等式を確立する。ここで $ L $ はグラフラプラシアン、$ W $ は摂動である。スピンギャップ $ \gamma $ の境界を重み付きチーバー定数 $ h $ を用いて導出し、$ W $ が対角の場合に $ 2h \geq \gamma \geq \sqrt{h^2 + d_{\text{max}}^2} - d_{\text{max}} $ が成り立つことを示し、スペクトルフィードバックを介した適応的量子断熱アルゴリズムへの道筋を提示する。

ABSTRACT

Cheeger inequalities bound the spectral gap $γ$ of a space by isoperimetric properties of that space and vice versa. In this paper, I derive Cheeger-type inequalities for nonpositive matrices (aka stoquastic Hamiltonians), real matrices, and Hermitian matrices. For matrices written $H = L+W$, where $L$ is either a combinatorial or normalized graph Laplacian, I show that: (1) when $W$ is diagonal and $L$ has maximum degree $d_{\max}$, $2h \geq γ\geq \sqrt{h^2 + d_{\max}^2}-d_\max$; (2) when $W$ is real, we can often route negative-weighted edges along positive-weighted edges such that the Cheeger constant of the resulting graph obeys an inequality similar to that above; and (3) when $W$ is Hermitian, the weighted Cheeger constant obeys $2h \geq γ$ here $h$ is the weighted Cheeger constant of $H$. This constant reduces bounds on $γ$ to information contained in the underlying graph and the Hamiltonian's ground-state. If efficiently computable, the constant opens up a very clear path towards adaptive quantum adiabatic algorithms, those that adjust the adiabatic path based on spectral structure. I sketch a bashful adiabatic algorithm that aborts the adiabatic process early, uses the resulting state to approximate the weighted Cheeger constant, and restarts the process using the updated information. Should this approach work, it would provide more rigorous foundations for adiabatic quantum computing without extit{a priori} knowledge of the spectral gap.

研究の動機と目的

• エルミート行列 $ H $ のスペクトルギャップ $ \gamma $ とその基底状態 $ \phi_0 $ の幾何的性質、特に等周定数を介した関係を形式化すること。
• ハミルトニアンの分解 $ H = L + W $ を用いて、非正（ストキュアスティック）、実、および一般のエルミート行列に対する古典的チーバー不等式を拡張すること。ここで $ L $ はグラフラプラシアンである。
• 基底状態 $ \phi_0 $ の幾何的構造を捉える重み付きチーバー定数 $ h $ を導入し、より緊密なスペクトルギャップ境界を可能とすること。
• 進化中に $ h $ を推定し、それに応じて経路を調整することで、$ h $ を用いた適応的量子断竣工アルゴリズムの実現可能性を検討すること。
• 特に $ W $ が対角、実、またはエルミートの場合に、グラフ構造と $ H $ の基底状態に基づいて $ \gamma $ の厳密な下界を確立すること。

提案手法

• エルミート行列 $ H $ を $ H = L + W $ に分解し、$ L $ を組合せ的または正規化されたグラフラプラシアン、$ W $ を摂動行列とする。
• 基底状態 $ \phi_0 $ をもとに定義される重み付きチーバー定数 $ h $ を導入し、これは古典的チーバー定数を非一様分布に一般化する。
• 変分原理と等周不等式を用いてスペクトルギャップ $ \gamma $ の境界を導出し、特にレイノルズ商と基底状態から導かれる非負関数 $ g $ を活用する。
• $ W $ が対角の場合、$ 2h \geq \gamma \geq \sqrt{h^2 + d_{\text{max}}^2} - d_{\text{max}} $ を証明し、ここで $ d_{\text{max}} $ は $ L $ の最大次数である。
• 実行列 $ W $ の場合、負の重み付き辺を正の辺に沿ってルーティングすることで、条件が満たされる限り、チーバー型不等式を保存できることが示される。
• 一般のエルミート行列 $ W $ の場合、$ 2h \geq \gamma $ が成り立つことが証明され、ここで $ h $ は $ H $ の重み付きチーバー定数であり、ギャップの境界をグラフ構造と基底状態の構造に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正（ストキュアスティック）行列、特に非対角成分が非正である場合に、チーバー型不等式を一般化できるか？
• RQ2 符号問題を伴う混合符号の非対角成分を有する実行列に対して、スペクトルギャップの境界をどのように導出できるか？
• RQ3 スペクトルギャップ $ \gamma $ と、重み付きチーバー定数によって捉えられる基底状態 $ \phi_0 $ の幾何的構造との関係は何か？
• RQ4 重み付きチーバー定数 $ h $ は効率的に近似可能か？ もしそうなら、どのように適応的量子断竣工アルゴリズムを可能にするか？
• RQ5 小さなスペクトルギャップは、必ず基底状態分布にボトルネックをもたらすとみなせるか？ どのような条件下でそのような含意が成り立つか？

主な発見

• ストキュアスティックハミルトニアンで $ W $ が対角の場合、スペクトルギャップは $ \gamma \geq \sqrt{h^2 + d_{\text{max}}^2} - d_{\text{max}} $ を満たす。ここで $ d_{\text{max}} $ は基底グラフの最大次数である。
• $ W $ が対角で $ L $ がグラフラプラシアンである場合、$ 2h \geq \gamma \geq \sqrt{h^2 + d_{\text{max}}^2} - d_{\text{max}} $ が成り立ち、スペクトルギャップがグラフ構造と基底状態の幾何的性質にリンクされることを示す。
• $ W $ が実行列の場合、負の重み付き辺を正の辺に沿ってルーティングすることで、修正されたチーバー不等式が得られ、条件が満たされる限り等周境界が保存される。
• 一般のエルミート行列 $ W $ の場合、$ 2h \geq \gamma $ が成り立つ。ここで $ h $ は $ H $ の重み付きチーバー定数であり、ギャップ推定をグラフ構造と基底状態のデータに還元する。
• $ h $ が効率的に近似可能であるならば、その近似を用いて、早期に中止し、$ h $ を推定し、更新された経路情報で再起動する「控えめな」断竣工アルゴリズムが可能になると論文は示唆している。
• 小さなスペクトルギャップが常にボトルネックを持つ $ \phi_0 $ をもたらすとは限らないが、ストキュアスティックおよび一部の実行列の場合にその含意が成り立つことを示している。