[論文レビュー] Hard Lefschetz Theorem for Sasakian manifolds

Beniamino Cappelletti Montano, Antonio De Nicola+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、次元 $2n+1$ のコンパクトなサスカリアン多様体に対して、ハード・レフシェッツ定理を確立する。具体的には、$\eta \wedge (d\eta)^p$ によるウェッジ積が、de Rham コホロロジー群 $H^{n-p}(M)$ と $H^{n+p+1}(M)$ の間に同型を誘導することを証明する。この同型は、適合するサスカリアン計量の選び方に依存しないことが示され、接触多様体がサスカリアン構造をもつための位相的障害を提供する。

ABSTRACT

We prove that on a compact Sasakian manifold $(M, η, g)$ of dimension $2n+1$, for any $0 \le p \le n$ the wedge product with $η\wedge (dη)^p$ defines an isomorphism between the spaces of harmonic forms $Ω^{n-p}_Δ(M)$ and $Ω^{n+p+1}_Δ(M)$. Therefore it induces an isomorphism between the de Rham cohomology spaces $H^{n-p}(M)$ and $H^{n+p+1}(M)$. Such isomorphism is proven to be independent of the choice of a compatible Sasakian metric on a given contact manifold. As a consequence, an obstruction for a contact manifold to admit Sasakian structures is found.

研究の動機と目的

• サスカリアン幾何における古典的ケーラー幾何の結果に類似した、奇数次元におけるハード・レフシェッツ定理の類似を確立すること。
• ウェッジ積 $\eta \wedge (d\eta)^p$ が調和形式を保存しないという事実を踏まえ、微分形式上のラプラシアンのスペクトル性質を分析することで、この問題を解決すること。
• 定義上計量に依存する調和射影の存在にもかかわらず、コホロロジー上に誘導されるレフシェッツ同型が、適合するサスカリアン計量の選び方に依存しないことを証明すること。
• サスカリアン構造をもつことのできない接触多様体に対するコホロロジー的障害としての「レフシェッツ接触多様体」の概念を定義し、研究すること。

提案手法

• 調和射影 $\Pi_\Delta \beta$ を用いて、$[\beta] \mapsto [\eta \wedge (d\eta)^p \wedge \Pi_\Delta \beta]$ で定義される写像 $L\!e\!f_p: H^{n-p}(M) \to H^{n+p+1}(M)$ を導入する。
• $\alpha \in \Omega^{n-p}_\Delta(M)$ に対して、$\eta \wedge (d\eta)^k \wedge \alpha$ が正の整数固有値をもつラプラシアンの固有形式であることを証明し、このことから写像が調和形式上で正しく定義されることを保証する。
• 演算子 $L$、$\epsilon_\eta$、$d$ の交換関係とスペクトル性質を用いて、レフシェッツ同型の逆写像を明示的に構成する。
• スペクトル分解と、$i_\xi \gamma = 0$ をみたす閉形式 $\gamma$ に対して $L^{n-p+1}\gamma = 0$ が成り立つことを利用して、レフシェッツ写像が計量に依存しないことを示す。
• 接触多様体上でレフシェッツ関係 $\mathcal{R}_{L\!e\!f_p}$ を定義し、この関係が同型のグラフであるような多様体を「レフシェッツ接触多様体」と定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなサスカリアン多様体に対して、ケーラーの場合に類似したハード・レフシェッツ型の同型が存在するか？
• RQ2 レフシェッツ写像が $\eta \wedge (d\eta)^p$ を用いて定義されるが、$d\eta$ や $\eta$ が調和性を保存しないにもかかわらず、調和形式上で正しく定義可能か？
• RQ3 定義上計量に依存するが、誘導されるコホロロジー上の同型が、適合するサスカリアン計量の選び方に依存しないか？
• RQ4 サスカリアン構造をもたない一般の接触多様体に対しても、ハード・レフシェッツ性質を拡張できるか？
• RQ5 このようなレフシェッツ同型の存在が、接触多様体に課す位相的障害は何か？

主な発見

• 任意の次元 $2n+1$ のコンパクトなサスカリアン多様体 $M$ に対して、$\eta \wedge (d\eta)^p$ によるウェッジ積が、de Rham コホロロジー群 $H^{n-p}(M)$ と $H^{n+p+1}(M)$ の間に同型を誘導する。
• レフシェッツ写像が正しく定義されるのは、$\eta \wedge (d\eta)^k \wedge \alpha$ が正の整数固有値をもつラプラシアンの固有形式であるためであり、このことから像が次数 $n+p+1$ の調和形式の空間に属することが保証される。
• 明示的な逆写像が構成され、写像が実際に同型であることが証明される。
• レフシェッツ同型が、$i_\xi \gamma = 0$ をみたす閉形式 $\gamma$ に対して $L^{n-p+1}\gamma = 0$ が成り立つことと、スペクトル分解を用いた計量独立性の議論により、適合するサスカリアン計量の選び方に依存しないことが示された。
• レフシェッツ接触多様体では、$p \leq n$ かつ $p$ が奇数であるような奇数次のベッチ数 $b_p$ は偶数である。これは、$H^p(M)$ 上に非退化で反対称な双一次形式が存在するためである。
• 接触多様体がサスカリアン構造をもつための必要十分条件は、レフシェッツ関係 $\mathcal{R}_{L\!e\!f_p}$ が同型のグラフである、すなわちハード・レフシェッツ性質を満たすことである。