[論文レビュー] Hardness and Algorithms for Rainbow Connectivity

Sourav Chakraborty, Eldar Fischer+2 more|ArXiv.org|Feb 7, 2009

Interconnection Networks and Systems被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、グラフのレインボーコネクティビティが2であるかどうかを決定する問題がNP完全であることを確立し、レインボーコネクティビティを計算することはNP困難であることを証明している。さらに、最小次数Ω(n)であるグラフは有界なレインボーコネクティビティを持つことが示され、最小次数の割合εにのみ依存する明示的な境界を伴う多項式時間アルゴリズムが提示されている。

ABSTRACT

An edge-colored graph G is rainbow connected if any two vertices are connected by a path whose edges have distinct colors. The rainbow connectivity of a connected graph G, denoted rc(G), is the smallest number of colors that are needed in order to make G rainbow connected. In addition to being a natural combinatorial problem, the rainbow connectivity problem is motivated by applications in cellular networks. In this paper we give the first proof that computing rc(G) is NP-Hard. In fact, we prove that it is already NP-Complete to decide if rc(G) = 2, and also that it is NP-Complete to decide whether a given edge-colored (with an unbounded number of colors) graph is rainbow connected. On the positive side, we prove that for every $ε$ > 0, a connected graph with minimum degree at least $εn$ has bounded rainbow connectivity, where the bound depends only on $ε$, and the corresponding coloring can be constructed in polynomial time. Additional non-trivial upper bounds, as well as open problems and conjectures are also pre sented.

研究の動機と目的

• レインボーコネクティビティの計算複雑性を解明し、それがNP困難であることを証明すること。
• rc(G) = 2であるかどうかを決定することはNP完全問題であるかを特定し、先行研究における予想を解決すること。
• 特に高最小次数のグラフに対して、レインボーコネクティビティが有界であるための十分条件を確立すること。
• このようなグラフにおいて、有界なレインボーカラーを構築する多項式時間アルゴリズムを開発すること。
• 直径、最小次数、レインボーコネクティビティの関係を調査し、保証付きのアルゴリズム的構成を提供すること。

提案手法

• 特定の頂点ペアの集合に対して2辺色分け問題と同値であることを示す一連の還元を用いて、rc(G) = 2を決定する問題のNP完全性を証明する。
• s-tレインボーパス問題への還元を用いて、辺色分け済みグラフにおけるレインボーコネクティビティの検証がNP完全であることを示す。
• 固定されたεに対してアルゴリズム的構成が可能な、辺色分け問題に特化したSzemerédiの正則性補題の修正版を適用する。
• 8種類の異なる色（a1–a4, b1–b4）を用いた2色分け方式を用い、頂点分割のクラスタ内におけるa-およびb-レインボーコネクティビティを保証する。
• 初期の色分けを、サイズが有界な生成部分木の辺に一意の新規色を割り当てることで精錬し、グローバルなレインボーコネクティビティを確保する。
• 高最小次数が小さい直径（≤ 3/ε）を意味することを活用し、色分けを精錬するための小さな生成部分木の構築を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフのレインボーコネクティビティがちょうど2であるかどうかを決定することは、NP完全問題か？
• RQ2 与えられた辺色分けがグラフをレインボー連結にするかどうかを検証することは、NP完全問題か？
• RQ3 最小次数がΩ(n)であるグラフに対して、有界なレインボーコネクティビティを保証できるか？ もしそうなら、εの関数としての境界は何か？
• RQ4 εの関数で有界な色数を持つレインボーカラーを多項式時間で計算できるか？
• RQ5 密度の高いグラフにおいて、直径、最小次数、レインボーコネクティビティの関係は何か？

主な発見

• rc(G) = 2であるかどうかを決定することはNP完全である。これはCaroらの予想を解決し、rc(G)の計算がNP困難であることを証明する。
• 辺色分け済みグラフにおけるレインボーコネクティビティの検証は、色数が無制限であってもNP完全である。
• 任意のε > 0に対して、最小次数が少なくともεnである任意の連結グラフは、レインボーコネクティビティがC(ε)以下である。ここでC(ε)はεにのみ依存する。
• 任意の固定されたε > 0に対して、C(ε)色以下のレインボーカラーを構築する多項式時間アルゴリズムが存在する。
• 直径が2で最小次数が8 log n以上であるグラフに対しては、rc(G) ≤ 3であり、3色分けは多項式時間で見つけられる。
• このようなグラフに対するランダムな3辺色分けは、高確率でレインボーカラーを生成する。また、最小次数がn/2であるすべてのグラフに対して、rc(G) ≤ 3が成り立つ。