[論文レビュー] Hardness of approximation for strip packing

Anna Adamaszek, Tomasz Kociumaka+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2016

Optimization and Packing Problems参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、入力サイズが多項式的に有界である場合でも、ストリップパッキングが12/11未満の要因で近似可能でないことが示されている。著者たちは、3-Partition問題への還元を通じてこれを証明し、ストリップパッキングに準多項式時間近似スキーム（QPTAS）が存在しないことを示している。これは、NP ⊆ DTIME(2^{polylog(n)}) でない限り成立せず、多項式有界設定における近似可能性に関する重要な未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Strip packing is a classical packing problem, where the goal is to pack a set of rectangular objects into a strip of a given width, while minimizing the total height of the packing. The problem has multiple applications, e.g. in scheduling and stock-cutting, and has been studied extensively. When the dimensions of objects are allowed to be exponential in the total input size, it is known that the problem cannot be approximated within a factor better than $3/2$, unless $\mathrm{P}=\mathrm{NP}$. However, there was no corresponding lower bound for polynomially bounded input data. In fact, Nadiradze and Wiese [SODA 2016] have recently proposed a $(1.4 + ε)$ approximation algorithm for this variant, thus showing that strip packing with polynomially bounded data can be approximated better than when exponentially large values in the input data are allowed. Their result has subsequently been improved to a $(4/3 + ε)$ approximation by two independent research groups [FSTTCS 2016, arXiv:1610.04430]. This raises a question whether strip packing with polynomially bounded input data admits a quasi-polynomial time approximation scheme, as is the case for related two-dimensional packing problems like maximum independent set of rectangles or two-dimensional knapsack. In this paper we answer this question in negative by proving that it is NP-hard to approximate strip packing within a factor better than $12/11$, even when admitting only polynomially bounded input data. In particular, this shows that the strip packing problem admits no quasi-polynomial time approximation scheme, unless $\mathrm{NP} \subseteq \mathrm{DTIME}(2^{\mathrm{polylog}(n)})$.

研究の動機と目的

• 多項式的に入力データが有界であるストリップパッキングが、最大独立集合の長方形問題などと同様に準多項式時間近似スキーム（QPTAS）を有するかどうかを解明すること。
• 指数的に入力サイズが大きな場合の既知の3/2の近似不能性境界と、多項式的に入力サイズが有界な場合の改善された(4/3+ε)近似の間のギャップを埋めること。
• 多項式的に入力サイズが有界な設定下で、ストリップパッキングの強い近似不能性結果を確立し、他の関連幾何パッキング問題よりも根本的に難しいことを示すこと。

提案手法

• 強いNP困難な3-Partition問題から還元し、特定の長方形の寸法と制約を持つストリップパッキングインスタンスを構築すること。
• 幅a, b, a+bのサイド長方形と、幅b/3 + s_i（s_iは小さな摂動）の中央長方形を設計し、3-Partitionインスタンスを符号化すること。
• 幾何的制約の使用：一般位置にある任意の垂直線は、正確に2つのサイド長方形と1つの中央長方形と交差し、任意の有効なパッキングにおいて構造的整合性を強制すること。
• 任意の有効なパッキングは、中央長方形を合計幅が正確にbである連続する三つ組に分割しなければならないことを証明し、これは有効な3-Partition解に対応すること。
• 係数aとbの数論的性質（gcd(a,b)=1 かつ b>3a）を活用し、長方形の境界のx座標が an_a + bn_b の線形結合であり、n_b - n_a ∈ {0,1} であることを保証すること。
• 中央長方形の唯一の妥当な配置は、幅bの三つ組への分割であり、これは元の3-Partitionインスタンスの解を意味すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式的に入力データが有界なストリップパッキングは、12/11未満の要因で近似可能か？
• RQ2 多項式的に入力サイズが有界な場合に(4/3+ε)近似アルゴリズムが存在するならば、準多項式時間近似スキーム（QPTAS）が存在するのだろうか？
• RQ3 多項式的に入力サイズが有界な設定下で、ストリップパッキングは最大独立集合の長方形問題などと同様にAPX困難か？
• RQ4 有効なパッキングの構造を制約し、中央長方形が合計幅bの三つ組に形成されなければならないようにできるか？
• RQ5 ストリップパッキングの近似不能性結果は、最大独立集合の長方形問題や2次元ナップサック問題といった関連問題とは根本的に異なるのだろうか？

主な発見

• ストリップパッキング問題は、すべての入力値がアイテム数に対して多項式的に有界であっても、12/11未満の要因で近似可能でないことが示された。
• これは、NP ⊆ DTIME(2^{polylog(n)}) でない限り、ストリップパッキングに準多項式時間近似スキーム（QPTAS）が存在しないことを意味する。これは極めて不自然と見なされている。
• 近似不能性結果は、強くNP困難であり、P=NPでない限り擬多項式時間アルゴリズムを持たない3-Partition問題への還元を通じて確立された。
• 構築されたインスタンスの任意の有効なパッキングは、中央長方形を合計幅が正確にbである連続する三つ組に分割しなければならない。これは、元の3-Partitionインスタンスの解に正確に対応する。
• 幾何的制約と長方形寸法の数論的性質により、有効なパッキングをもたらすのは、有効な3-Partitionに対応する配置のみであることが保証される。
• この結果は、ストリップパッキングが最大独立集合の長方形問題や2次元ナップサック問題など、QPTASを有する関連問題とは異なり、多項式的に入力サイズが有界な設定下でより厳しく近似不能であることを示している。