[論文レビュー] Approximation Schemes for Maximum Weight Independent Set of Rectangles

Anna Adamaszek, Andreas Wiese|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、最大重み長方形独立集合（MWISR）問題に対する最初の準多項式時間$(1+\varepsilon)$近似スキームを提示する。幾何的動的計画法を用い、平面を有界な複雑性の多角形に再帰的に分割する。主な貢献は、時間$2^{\mathrm{poly}(\log n / \varepsilon)}$における$(1+\varepsilon)$近似であり、長年の未解決問題を解消した。MWISRがAPX-hardでないことは、NP ⊆ DTIME($2^{\mathrm{polylog}\,n}$)でない限り成り立つ。

ABSTRACT

In the Maximum Weight Independent Set of Rectangles (MWISR) problem we are given a set of n axis-parallel rectangles in the 2D-plane, and the goal is to select a maximum weight subset of pairwise non-overlapping rectangles. Due to many applications, e.g. in data mining, map labeling and admission control, the problem has received a lot of attention by various research communities. We present the first (1+epsilon)-approximation algorithm for the MWISR problem with quasi-polynomial running time 2^{poly(log n/epsilon)}. In contrast, the best known polynomial time approximation algorithms for the problem achieve superconstant approximation ratios of O(log log n) (unweighted case) and O(log n / log log n) (weighted case). Key to our results is a new geometric dynamic program which recursively subdivides the plane into polygons of bounded complexity. We provide the technical tools that are needed to analyze its performance. In particular, we present a method of partitioning the plane into small and simple areas such that the rectangles of an optimal solution are intersected in a very controlled manner. Together with a novel application of the weighted planar graph separator theorem due to Arora et al. this allows us to upper bound our approximation ratio by (1+epsilon). Our dynamic program is very general and we believe that it will be useful for other settings. In particular, we show that, when parametrized properly, it provides a polynomial time (1+epsilon)-approximation for the special case of the MWISR problem when each rectangle is relatively large in at least one dimension. Key to this analysis is a method to tile the plane in order to approximately describe the topology of these rectangles in an optimal solution. This technique might be a useful insight to design better polynomial time approximation algorithms or even a PTAS for the MWISR problem.

研究の動機と目的

• MWISRに対する$(1+\varepsilon)$近似を多項式時間で達成するという長年の未解決問題に取り組む。
• 重み付き長方形に対する既存の$O(\log n / \log\log n)$近似アルゴリズムの限界を克服する。
• 有界な複雑性を持つ幾何的独立集合問題に適用可能な一般化された幾何的動的計画法フレームワークを開発する。
• 標準的な複雑性仮定の下で、MWISRがAPX-hardでないことを示す。これは、NP ⊆ DTIME($2^{\mathrm{polylog}\,n}$)でない限り成り立つ。

提案手法

• 最適解から導かれる直線の集合を用いて、平面を有界な複雑性の多角形に再帰的に分割する幾何的動的計画法（GEO-DP）を提案する。
• 最適解に属する長方形が、制御された低重み領域でのみ交差するように、新規な分割技術を用いる。
• 重み付き平面グラフの分離定理を適用して、再帰的サブプロブレムの数を制限し、近似誤差を制御する。
• $\delta$-大きな長方形（少なくとも一方の次元で大きなもの）に対してタイリング法を導入し、この特殊ケースにおける多項式時間$(1+\varepsilon)$近似を可能にする。
• グリッドオフセットを確率的に用いることで、グリッド線と交差する長方形の重みを最小化し、近似誤差を低減する。
• 再帰の深さと近似品質のバランスを取るために、GEO-DPのパrameterを$k = (1/\varepsilon)(1/\delta)^{O(1)}$に設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数因子の多項式時間アルゴリズムが存在しないにもかかわらず、MWISRに対して$(1+\varepsilon)$近似スキームを準多項式時間で設計できるか？
• RQ2 平面をどのように分割すれば、最適解が$\varepsilon$-分数の損失まで保たれるか？ これに適した幾何的および動的計画法的手法は何か？
• RQ3 $\delta$-大きな長方形の構造を活用して、多項式時間$(1+\varepsilon)$近似を達成できるか？
• RQ4 自然な線形計画緩和の整数性ギャップとMWISRの複雑さの関係は何か？ そして、幾何的手法を用いてこれをバインドできるか？
• RQ5 MWISRはAPX-hardか？ それとも、妥当な複雑性仮定の下でPTASが存在するか？

主な発見

• 本稿は、$2^{\mathrm{poly}(\log n / \varepsilon)}$という準多項式時間で動作する最初の$(1+\varepsilon)$近似アルゴリズムを提示する。
• 分割線が交差する長方形の総重みが$\varepsilon \cdot w(\mathcal{R})$未満であることを保証することで、近似比$1+O(\varepsilon)$を達成する。
• $\delta$-大きな長方形（$\max\{g_i, h_i\} \in [K, (1/\delta)K]$）の特殊ケースでは、多項式時間$(1+\varepsilon)$近似が得られる。
• この手法により、標準的な複雑性仮定の下で、MWISRがAPX-hardでないことは、NP ⊆ DTIME($2^{\mathrm{polylog}\,n}$)でない限り成り立つ。
• 幾何的動的計画法フレームワークは一般性があり、他の幾何的独立集合問題への応用が可能である。
• 解析は、重み付き平面グラフの分離定理の新規な応用と、近似誤差を最小化するための確率的グリッドオフセット技術に依存している。