[論文レビュー] Hardy and Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities on Riemannian manifolds with negative curvature

Van Hoang Nguyen|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、負の曲率を持つ完全で単連結なリーマン多様体上において、鋭い重み付きハーディーおよびレリッヒ型不等式（臨界型およびキャファレッリ＝コーン＝ニレングェルグ型を含む）を確立する。著者らは、径方向微分とガウスの補題を活用し、既知の結果よりも強い不等式を導出し、パrameter制約下での最適性を証明するとともに、特定のパrameterクラスに対してユークリッド空間における明示的な最適関数を同定する。

ABSTRACT

In this paper, we establish several new Hardy type inequalities such as the weighted Hardy inequality, weighted Rellich inequality, critical Hardy inequality and critical Rellich inequality on complete, simply connected manifold with negative curvature. Our obtained inequalities are proved for radial derivations (i.e., the derivation along the geodesic curve) and hence are stronger than the well-known corresponding inequalities because of Gauss's lemma. We also prove a subclass of Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities (including the inequalities for negative exponent) on such kind of Riemannian manifolds. These inequalities are shown to be sharp under some appropriate assumptions of the parameters. A family of optimal functions for the Cafarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities are found out in Euclidean space for a special class of parameters. As consequences, we obtain some new inequalities in the hyperbolic space of negative constant curvature. Our results seem to be new even in the Euclidean space (except some special cases).

研究の動機と目的

• 古典的なハーディーおよびレリッヒ不等式を負の曲率をもつリーマン多様体へ拡張すること。
• 径方向微分を用いて、これらの不等式の新たな重み付きおよび臨界形を確立すること。
• 適切なパrameter条件の下で、キャファレッリ＝コーン＝ニレングェルグ型不等式の鋭さを証明すること。
• ユークリッド空間におけるキャファレッリ＝コーン＝ニレングェルグ不等式の特定のクラスに対して最適関数を同定すること。
• 一般枠組みの結果として、定数負の曲率をもつ双曲空間における新たな不等式を導出すること。

提案手法

• 測地線に沿った径方向微分を用い、ガウスの補題を応用して不等式を強化すること。
• 径方向構造を活用し、負の曲率をもつ多様体上での重み付きハーディーおよびレリッヒ不等式を導出すること。
• 負の指数を含むものも含めた、キャファレッリ＝コーン＝ニレングェルグ型不等式の一部クラスを導入・分析すること。
• 変分的および幾何的議論を用いて、特定のパrameter制約下での不等式の鋭さを証明すること。
• 対称性とスケーリングを用いて、ユークリッド空間における特別なパrameterクラスに対して明示的な最適関数を構成すること。
• 一般枠組みを応用し、定数負の曲率をもつ双曲空間における新たな不等式を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付きハーディーおよびレリッヒ不等式は、完全で単連結なリーマン多様体（負の曲率をもつ）へ拡張可能か？
• RQ2 径方向微分は、標準的定式化と比較して、ハーディー型不等式の強度をどのように向上させるか？
• RQ3 どのようなパrameter条件下で、キャファレッリ＝コーン＝ニレングェルグ型不等式が鋭いか？
• RQ4 特定のパrameterクラスに対して、ユークリッド空間におけるキャファレッリ＝コーン＝ニレングェルグ不等式の最適関数は何か？
• RQ5 一般結果の帰結として、双曲空間にどのような新たな不等式が導かれるか？

主な発見

• 著者らは、負の曲率をもつ完全で単連結なリーマン多様体上において、径方向微分を用いた新たな重み付きハーディーおよびレリッヒ不等式を確立する。
• 径方向微分とガウスの補題の活用により、古典的バージョンよりも強い不等式が得られる。
• 負の指数を含むものも含めた、キャファレッリ＝コーン＝ニレングェルグ型不等式の一部クラスが導出され、適切なパrameter条件下で鋭さが証明される。
• ユークリッド空間における特定のクラスのキャファレッリ＝コーン＝ニレングェルグ不等式に対して、明示的な最適関数が同定される。
• 定数負の曲率をもつ双曲空間において、一般結果の帰結として新たな不等式が得られる。
• 一般ケースにおいて、既知の特殊例を超えて、ユークリッド空間でも本結果が新規であることが示される。