[論文レビュー] Hardy-Sobolev type inequalities and their applications

Bo-Yong Chen|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、新しいハーディー＝ソボレフ型不等式を確立し、特異点集合が非コンパクトであっても、正則関数および擬補調関数に対するハートォグスの定理の定量的拡張を導出するためにそれらを応用する。重み付き $ L^2 $ 評価のもとで $ \bar{\nabla} $-方程式の解が存在することを証明し、ラプラシアンの減衰および可積分性条件が満たされる場合に、ある点における無限階の零点を持つ関数が恒等的に消えることを示し、古典的な一意的拡張結果を一般化する。

ABSTRACT

This paper is devoted to various applications of Hardy-Sobolev type inequalities. We derive a new $L^2$ estimate for the $\bar{\partial}-$equation on ${\mathbb C}^n$ which yields a quantitative generalization of the Hartogs extension theorem to the case when the singularity set is not necessary compact. We show that for any negative subharmonic function $ψ$ on ${\mathbb R}^n$, $n>2$, the BMO norm of $\log |ψ|$ is bounded above by $2\sqrt{n-2}$ and $|ψ|^γ$ satisfies a reverse Hölder inequality for every $0

研究の動機と目的

• ${\mathbb{C}}^n$ 上での $ \bar{\nabla} $-方程式に対する新しい $ L^2 $ 評価を、ハーディー＝ソボレフ型不等式を用いて開発すること。
• 特異点集合がコンパクトでない場合にも、ハートォグス拡張定理の定量的一般化を提供すること。
• $ \nabla\bar{\nabla} $-証明を用いて、擬補調関数に対するハートォグス拡張定理を証明すること。
• ${\mathbb{R}}^n$ ($ n>2 $) 上の負のサブハーモニック関数に対して、BMO 界と逆 Hölder 不等式を確立すること。
• 完備なリーマン多様体上でのサブハーモニック関数に対するリウヴィル型定理およびデッキ変換群に関するマーガリス型結果を導出すること。

提案手法

• ${\mathbb{C}}^n$ 上での $ \bar{\nabla} $-方程式に対する新しい $ L^2 $ 評価を、重み付きハーディー＝ソボレフ不等式を用いて導出すること。
• 不等式 (1.1) を用いて、$ \bar{\nabla}u = v $ の解の $ L^2 $-ノルムを $ v $ の双対重み付きノルムで制御すること。
• 切断関数を用いたカルレマン型の議論により、無限階の零点を持つ解のための一意的拡張を証明すること。
• 原点付近の成長を制御するために、$ |x|^{-\tau}\phi $ と $ |x|^{2-\tau}\Delta\phi $ を含む重み付きソボレフ型不等式を確立すること。
• ホルダーの不等式と補間を用いて、$ |x|^{1-\tau}\phi $ の重み付き $ L^\alpha $ ノルムを $ \nabla\phi $ と $ \Delta\phi $ の $ L^2 $ ノルムで上界で抑え込むこと。
• 勾配およびラプラシアンの $ L^2 $ ノルムが制御可能な切断関数 $ \chi_\varepsilon $ を構成して、局所的な評価を局所化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \bar{\nabla} $-方程式が、データの重み付きノルムに依存する $ L^2 $ 評価を持つ解を有するための条件は何か？
• RQ2 特異点集合が非コンパクトであっても、ハートォグス拡張定理を定量的に一般化できるか？
• RQ3 ${\mathbb{R}}^n$ ($ n>2 $) 上の負のサブハーモニック関数 $ \psi $ に対して、$ \log|\psi| $ の最良の BMO ノルム界は何か？
• RQ4 ${\mathbb{C}}^n$ 上のすべての擬正則関数が局所的 BMO 空間に属するか？
• RQ5 重み付き可積分性条件のもとで $ |\Delta u| \leq \omega^{1/\alpha}\omega' |u| $ を満たす解にどのような一意的拡張性が成立するか？

主な発見

• ${\mathbb{R}}^n$ ($ n>2 $) 上の任意の負のサブハーモニック関数 $ \psi $ に対して、$ \log|\psi| $ の BMO ノルムは $ 2\sqrt{n-2} $ で上から抑えられる。
• 任意の $ 0 < \gamma < 1 $ に対して、$ |\psi|^\gamma $ は ${\mathbb{R}}^n$ ($ n>2 $) 上で逆 Hölder 不等式を満たす。
• ${\mathbb{C}}^n$ 上のすべての擬正則関数は局所的に BMO に属する。
• 有界な領域が射影的多様体におけるザリスキ開集合を被覆するならば、そのデッキ変換群の中心は自明である。
• 式 (9.8) および (9.9) が成り立つ場合、原点で無限階の零点を持つ $ |\Delta u| \leq \omega^{1/\alpha}\omega' |u| $ の解 $ u $ は近傍で恒等的に消える。
• $ \bar{\nabla}u = v $ の解 $ u $ は、重み付き不等式 (1.4) のもとで $ \|u\|_2 \leq 2\sqrt{2}\|v\|_{\omega^{-\alpha' / \alpha}, \alpha'} $ を満たす。