[論文レビュー] Harmonic Maass-Jacobi forms with singularities and a theta-like decomposition

Kathrin Bringmann, Martin Raum+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特異性をもつ調和Maass-Jacobi形式の新空間を導入し、Zwegersの実解析的Jacobi形式に関する研究を拡張する。Casimir作用素およびヘイゼンベルクラプラシアン作用素によって消えるH-調和Maass-Jacobi形式を定義し、微分作用素ξ^Hおよびξを用いることで、正則部分と非正則部分に分解する、thetaに類似した構造が得られ、特異性を含む完全な構造理論が確立される。

ABSTRACT

Real-analytic Jacobi forms play key roles in different areas of mathematics and physics, but a satisfactory theory of such Jacobi forms has been lacking. In this paper, we fill this gap by introducing a space of harmonic Maass-Jacobi forms with singularities which includes the real-analytic Jacobi forms from Zwegers's PhD thesis. We provide several structure results for the space of such Jacobi forms, and we employ Zwegers's $\widehatμ$-functions to establish a theta-like decomposition.

研究の動機と目的

• 実解析的Jacobi形式、特にZwegersのμ関数のような特異性をもつ形式についての包括的な理論の欠如に応えること。
• 特異性を含むように調和Maass-Jacobi形式の定義を拡張し、それまでの研究で除外されていたこのような形式の制限を克服すること。
• 微分作用素ξ^Hおよびξを用いて、これらの新形式の構造理論を確立し、正則部分と非正則部分に分解可能にする。
• 完了形H擬Maass-Jacobi形式に対して、弱正則形式および調和Maass形式の既知の結果を一般化するthetaに類似した分解を提供すること。

提案手法

• Casimir作用素\mathcal{C}_{k,m}およびヘイゼンベルクラプラシアン作用素\Delta^{\mathrm{H}}_mによって消えるH-調和Maass-Jacobi形式の空間$\mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{H}}_{k,m}$を導入する。
• BruinierとFunkeの$\xi_k$の類似として、非正則部分を消去することで形式の構造を単純化する微分作用素$\xi^{\mathrm{H}}_{k,m}$および$\xi_{k,m}$を定義する。
• 作用素$Y_+$および$Y_-$を用いて、深さ$D$の完了形H擬Maass-Jacobi形式のフィルトレーションを構成し、帰納的分解を可能にする。
• 任意の深さ$D$の完了形H擬Maass-Jacobi形式が$\phi = \sum_{d=0}^{D-1} Y_+^d(\phi_d)$（$\phi_d \in \mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{H}}_{k-d,m}$）と分解できることを証明し、thetaに類似した分解を確立する。
• 双対性および$Y_+^{\mathrm{sk}}$、$Y_-^{\mathrm{sk}}$、複素共役との関係を用いて、結果をスケュー-Maass-Jacobi形式へ拡張する。
• $\xi^{\mathrm{H}}$作用素を用いて、$\mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{H}}_{k,m}$から$\mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{h}}_{k,m}$への形式の上昇を実行し、一般形式の分解を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異性をもつ実解析的Jacobi形式の整合的な理論を、特にZwegersの$\widehat{\mu}$-関数を含む形でどのように構築できるか？
• RQ2 Casimir作用素およびヘイゼンベルクラプラシアン作用素の両方によって消える調和Maass-Jacobi形式において、どのような構造が現れるか？
• RQ3 完了形H擬Maass-Jacobi形式に対して、調和弱Maass形式と類似したthetaに類似した分解を確立できるか？
• RQ4 微分作用素$\xi^{\mathrm{H}}_{k,m}$および$\xi_{k,m}$は、H-調和Maass-Jacobi形式の構造をどのように単純化するか？
• RQ5 空間$\mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{H}}_{k,m}$、$\mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{h}}_{k,m}$、および$\mathcal{M}\mathrm{J}^{\delta,\mathrm{h}}_{k,m}$の正確な関係は何か？また、それらはどのように分解されるか？

主な発見

• 空間$\mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{H}}_{k,m}$はZwegersの$\widehat{\mu}$-関数を含み、ヘイゼンベルクラプラシアン作用素およびCasimir作用素の作用に関して閉じている。
• 特異性のない$\mathrm{H}$-調和Maass-Jacobi形式は、$\xi^{\mathrm{H}}_{k,m}$によって消されるとき、半正則である、すなわちJacobi変数$z$に関して正則である。
• 空間$\mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{h}}_{k,m}$は$\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{h}}_{k,m} \oplus \mathcal{M}\mathrm{J}^{\delta,\mathrm{h}}_{k,m}$に分解され、正則部分と非正則部分への直和分解が示される。
• 任意の深さ$D$の完了形$\mathrm{H}$-擬Maass-Jacobi形式は、$\phi = \sum_{d=0}^{D-1} Y_+^d(\phi_d)$（$\phi_d \in \mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{H}}_{k-d,m}$）と分解可能であり、thetaに類似した分解が確立される。
• 重さ$k$およびインデックス$m$のすべての完了形$\mathrm{H}$-擬Maass-Jacobi形式の空間は、$\bigoplus_{d=0}^{\infty} Y_+^d\big{(}\mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{H}}_{k-d,m}\big{)}$に同型であり、古典的theta分解を一般化する。
• $m < 0$のとき、空間$\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{h}}_{k,m}$および$\mathrm{J}^{\delta,\mathrm{h}}_{k,m}$は自明であるため、負のインデックスにおける非特異的H-調和形式の存在に強い制約があることが示される。